Để chứng minh các điều cần cm, ta vẽ hình như sau:

\[
\begin{tikzpicture}
\coordinate[label=above:$A$] (A) at (0,3);
\coordinate[label=left:$B$] (B) at (-2,0);
\coordinate[label=right:$C$] (C) at (2,0);
\coordinate[label=below:$I$] (I) at (0,0);
\coordinate[label=below:$N$] (N) at (-1,0);
\coordinate[label=below:$M$] (M) at (1,0);
\coordinate[label=above:$H$] (H) at (-1,1.5);
\coordinate[label=above:$K$] (K) at (1,1.5);
\coordinate[label=above:$O$] (O) at (0,1.5);
\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw (A) -- (I);
\draw (B) -- (H);
\draw (C) -- (K);
\draw (B) -- (M);
\draw (C) -- (N);
\draw (H) -- (K);
\draw (I) -- (O);
\end{tikzpicture}
\]

a) Ta có AI là đường phân giác của góc BAC vì AB = AC. Ta cũng có AI vuông góc với BC vì I là trung điểm của BC.

b) Ta có CN = BM và CN = BM nên tam giác CNM là tam giác cân tại N. Do đó, ta có AM = AN.

c) Ta có CN = BM và CN = BM nên tam giác CNM là tam giác cân tại N. Khi đó, ta có CN = MN. Ta cũng có CN = CK và CN = MN nên tam giác CNK cũng là tam giác cân tại N. Từ đó, ta có CK = NK. Tương tự, ta có BH = HM. Vậy CM = BH = CK.

d) Ta có AM = AN và AH = AK nên tam giác AMH và ANK là tam giác đều. Khi đó, ta có AH = AK và HK//BC.

e) Ta có AI là đường phân giác của góc BAC và O là giao điểm của BH và CK nên theo định lí góc nội tiếp, ta có A, I, O thẳng hàng.