Cho đoạn thẳng AC và đường thẳng d vuông góc với AC tại C, trên đoạn thẳng AC lấy điểm B sao cho AB < AC, vẽ đường tròn đường kính AB. Gọi M là điểm trên cung AB ( vì khác A và M khác B). Đường thẳng AM cắt d tại H

a) Ta có góc BMC = góc BAC (cùng chắn cung BM) và góc BHC = góc AHC (do d vuông góc với AC tại C). Vì tam giác ACHM nội tiếp nên góc ACH = góc AMH. Do đó, góc BMC = góc BAC = góc ACH = góc AMH = góc BHC, suy ra góc BMC = góc BHC.

b) Ta có góc NAB = góc NKB (cùng chắn cung NA) và góc NKB = góc BHK (do AB song song với NK và AH song song với BK). Vì góc BHC = góc BMC (đã chứng minh ở câu a), nên góc NAB = góc BHC.

c) Ta có góc NAB = góc BHC (đã chứng minh ở câu b) và góc BHC = góc BHK (do AB song song với NK và AH song song với BK). Vậy ba điểm N, B, H thẳng hàng.

d) Gọi O là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác AHK. Ta có:
- MK là tiếp tuyến của đường tròn tại K nên góc AKM = góc KMH.
- NH là tiếp tuyến của đường tròn tại N nên góc ANH = góc HNK.
- AC là tiếp tuyến của đường tròn tại A nên góc ACH = góc CAM.

Áp dụng định lý Cosin trong tam giác AHK, ta có:
cos(AKH) = cos(AKM) + cos(HNK) = cos(ACH) + cos(CAM) = cos(ACH) + cos(ACH) = 2cos(ACH).

Vậy, 1/r = 1/MK + 1/NH + 1/AC.