Cho ABC vuông tại B có AM là đường trung tuyến và C = 54°. a) [TH] Tính số đo góc A. b) [TH] Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho AM = MD. Chứng minh tam giác AMC = tam giác DMB và AC = BD

a) Ta có góc A = 90° do tam giác ABC vuông tại B.

b) Gọi E là trung điểm của BC. Ta có AE // MC và AE = MC (do AM là đường trung tuyến).
Khi đó, ta có tam giác AEC đồng dạng với tam giác AMC (cân).
Vậy, ta có:
\(\frac{AC}{AE} = \frac{AM}{MC} = 2\)
\(\frac{AC}{BC} = \frac{1}{2}\)
\(AC = \frac{1}{2} BC\)

Gọi I là trung điểm của AD. Ta có AI // MD và AI = MD.
Khi đó, ta có tam giác AID đồng dạng với tam giác DMB (cân).
Vậy, ta có:
\(\frac{AD}{AI} = \frac{MD}{MB} = 2\)
\(\frac{AD}{2AE} = \frac{1}{2}\)
\(AD = AE\)

Do đó, ta có tam giác AMC = tam giác DMB và AC = BD.