Cho tam giác ABC vuông tại A

a. Ta có:
$\angle ABD = \angle DBH$ (do $AB$ là phân giác của $\angle B$)
$\angle ADB = \angle HDB$ (cùng chắn)
Và $AD = DC$ (đề bài)
Vậy tam giác $ABD$ và tam giác $HBD$ đồng dạng (c.g.c)

b. Ta có:
$\angle ADB = \angle HDB$ (cùng chắn)
$\angle ABD = \angle DBH$ (do $AB$ là phân giác của $\angle B$)
Vậy tam giác $ABD$ và tam giác $HBD$ đồng dạng (c.g.c)
Vậy $\dfrac{AD}{BD} = \dfrac{AB}{BH}$
$\Rightarrow AD \cdot BH = AB \cdot BD$
Nhưng $AB = BC$ (do tam giác vuông $ABC$)
Vậy $AD \cdot BH = BC \cdot BD$
$\Rightarrow AD = BC$

c. Ta có:
$\angle BAK = \angle BAD$ (cùng chắn)
$\angle BKA = \angle BDA$ (do $AK = AD$)
Vậy tam giác $BAK$ đồng dạng với tam giác $BAD$
$\Rightarrow \angle BAK = \angle BDA$
$\Rightarrow \angle BAK + \angle BDA = 180^\circ$
$\Rightarrow 3$ điểm $B, A, K$ thẳng hàng.