Cho ABCD có ba góc nhọn, đường cao BA (A ∈ CD) . Từ A vẽ AH vuông góc BD, AE vuông góc với BC ( H∈ BD; E ∈ BC)

Để chứng minh EF.DI=DG.EI, ta sẽ sử dụng định lí Menelaus trong tam giác ABC và định lí Ceva trong tam giác BHD.

Định lí Menelaus trong tam giác ABC:
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ABC với đường chéo EG, ta có:
$\frac{BE}{BC} \cdot \frac{CI}{IA} \cdot \frac{AG}{GE} = 1$

Định lí Ceva trong tam giác BHD:
Áp dụng định lí Ceva trong tam giác BHD với các đường chéo DF, ta có:
$\frac{BF}{FC} \cdot \frac{CE}{EH} \cdot \frac{DH}{HB} = 1$

Do F, G lần lượt là trung điểm của BC và BH nên BF = FC và DH = HB, từ đó suy ra:
$\frac{CE}{EH} = 1$

Kết hợp với $\frac{BE}{BC} \cdot \frac{CI}{IA} \cdot \frac{AG}{GE} = 1$, ta có:
$\frac{CI}{IA} = \frac{GE}{AG}$

Tương tự, áp dụng định lí Ceva trong tam giác BHD với các đường chéo DF, ta cũng có:
$\frac{CI}{IA} = \frac{DG}{GB}$

Kết hợp hai biểu thức trên, ta có:
$\frac{GE}{AG} = \frac{DG}{GB}$

Từ đó, ta suy ra:
$GE \cdot GB = AG \cdot DG$

Vậy ta đã chứng minh được EF.DI=DG.EI.