Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng BC có chứa điểm A vẽ nửa đường tròn đường kính BC có tâm O, cắt AB, AC lần lượt tại D và E, đoạn thẳng BE cắt CD tại H, tia AH cắt BC tại F

a) Ta có tam giác ABC là tam giác nhọn nên nửa đường tròn có tâm O cắt AB, AC tại D và E.

Vì BE là đường chéo của tam giác ABC nên ta có tứ giác ABEC là tứ giác điều hòa, suy ra (B, E; D, C) = -1.

Khi đó, ta có tứ giác BECH là tứ giác điều hòa, suy ra (B, H; E, C) = -1.

Gọi J là trung điểm của AH, ta có AJ // BC và J là trung điểm của AH nên ta có AJ = JH.

Vậy ta có tứ giác AJHF là hình thoi, suy ra JF vuông góc với AF.

b) Gọi K là giao điểm của ED và BF, ta có tứ giác BECK là tứ giác điều hòa, suy ra (B, K; E, C) = -1.

Vậy K nằm trên đường thẳng BF.

c) Gọi M là trung điểm của DE, ta có tứ giác BEMD là tứ giác điều hòa, suy ra (B, I; M, E) = -1.

Vậy OI vuông góc với BJ.