Cho tam giác ABC có AC > AB, trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Nối C với D

Để giải bài toán này, ta cần vẽ hình như sau:

- Vẽ tam giác ABC với AC > AB và trung tuyến AM.
- Trên tia đối của tia MA, lấy điểm D sao cho MD = MA.
- Nối C với D.
- Kẻ đường cao AH và lấy điểm E nằm giữa A và H.

Ta cần chứng minh 2 phần:

a) CM góc ADC > DAC và góc MAB = MAC:
Ta có:
- Vì MD = MA nên tam giác AMD đều.
- Vậy góc MAD = 60 độ.
- Góc MAB = góc MAC vì AM là trung tuyến.
- Góc MAD = góc DAC vì MD = MA.
- Vậy ta có góc MAB = góc MAC = góc DAC và góc MAB = góc MAD.

b) So sánh HC và HB, EC và EB:
- Ta có tam giác AHC vuông tại H và tam giác AHB vuông tại H.
- Vì góc MAB = góc MAC nên tam giác AHB và tam giác AHC đồng dạng.
- Vậy ta có HC/HA = HA/HB hay HC = HA^2/HB.
- Ta cũng có tam giác AEC vuông tại E và tam giác AEB vuông tại E.
- Vì góc MAB = góc MAC nên tam giác AEB và tam giác AEC đồng dạng.
- Vậy ta có EC/EA = EA/EB hay EC = EA^2/EB.

Như vậy, ta đã chứng minh được cả 2 phần đề bài.