Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), có BD là tia phân giác của góc ABC (D thuộc AC), kẻ CK vuông góc với BD tại K

Giải:

a) Chứng minh ΔDAB đồng dạng ΔDKC:

Ta có:
\[\angle DAB = \angle DKB \quad (\text{cùng chắn})\]
\[\angle ADB = \angle CKD \quad (\text{cùng chắn})\]
Vậy theo góc - góc, ta có ΔDAB đồng dạng ΔDKC.

b) Chứng minh: AB.KC = AD.KB:

Do ΔDAB đồng dạng ΔDKC nên ta có:
\[\frac{AB}{DK} = \frac{AD}{DA} \Rightarrow AB.KC = AD.KB\]

c) Chứng minh: BD.BK + CD.CA = 4CQ²:

Ta có:
\[CQ = \frac{BC}{2} = \frac{BD + DC}{2}\]
\[CQ = \frac{BD + DC}{2} \Rightarrow 2CQ = BD + DC\]
\[4CQ^2 = (BD + DC)^2 = BD^2 + DC^2 + 2BD.DC\]
Vậy ta có:
\[BD.BK + CD.CA = BD(BD + DC) + DC.AC = BD^2 + BD.DC + DC.AC = BD^2 + DC^2 + 2BD.DC = 4CQ^2\]

Vậy ta đã chứng minh được điều cần chứng minh.