Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB < AC) vẽ đường cao AD, BE, CF. Gọi H là giao điểm của 3 đường cao. M, N lần lượt là trung điểm đoạn thẳng AH và BC

a, Ta có AH vuông góc với BC (do AD là đường cao của tam giác ABC), nên MN // BC và MN = 1/2 BC = 1/2 AH.
Do đó, MF = 1/2 AF và NF = 1/2 AN.
Vậy tam giác MFN có 2 cạnh đáy bằng nhau nên là tam giác vuông.

b, Ta có MF = 1/2 AF và NF = 1/2 AN.
Do đó, tam giác MFN đồng dạng với tam giác FAC theo định lí đồng dạng.

c, Gọi P,Q lần lượt là chân đường vuông góc từ M và N đến đường thẳng DF.
Ta có MP // DF và MQ // DF nên tam giác MPQ đồng dạng với tam giác MDF.
Vậy góc MPQ = góc MDF = góc B.
Tương tự, góc MNQ = góc NCF = góc A.
Do đó, góc MPN = góc MPQ + góc NCF = góc B + góc A = 90 độ.
Vậy MN vuông góc với PQ.
Mà MN // BC nên PQ // BC.
Vậy tam giác MPQ vuông cân tại M.
Vậy tam giác MPQ là tam giác vuông cân.
Vậy BQ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ.