a) Để chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt, ta cần giải hệ phương trình giữa (p) và (d):
\begin{cases} y = x^2 \\ y = 2(m-1)x - m + 3 \end{cases}

Thay y của (p) vào (d), ta được:
x^2 = 2(m-1)x - m + 3

Đây là phương trình bậc hai theo x, ta có thể giải để tìm điểm giao của (p) và (d).

b) Để tìm m để |x1 - x2| đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm điểm giao của (p) và (d) và sau đó tính khoảng cách giữa hai điểm đó.

Để tính khoảng cách giữa hai điểm (x1, y1) và (x2, y2) trên đồ thị, ta sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong hệ trục tọa độ:
d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Sau khi tìm được x1, x2, y1, y2, ta tính giá trị của |x1 - x2| để tìm m để giá trị này đạt giá trị nhỏ nhất.