Để tìm các số có 2 chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương tổng các chữ số của nó, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Gọi số có 2 chữ số là \( \overline{ab} \), trong đó \( a \) và \( b \) là các chữ số và \( a \neq 0 \).
2. Số đó có thể được viết dưới dạng \( 10a + b \).
3. Tổng các chữ số của nó là \( a + b \).
4. Bình phương của số đó là \( (10a + b)^2 \).
5. Lập phương của tổng các chữ số là \( (a + b)^3 \).

Ta cần tìm các số \( \overline{ab} \) sao cho:
\[ (10a + b)^2 = (a + b)^3 \]

Bây giờ, ta sẽ thử các giá trị của \( a \) và \( b \) từ 1 đến 9 (vì \( a \neq 0 \)) để tìm các số thỏa mãn điều kiện trên.

### Thử từng giá trị của \( a \) và \( b \):

1. **\( a = 1 \):**
- \( b = 1 \): \( (10 \cdot 1 + 1)^2 = 11^2 = 121 \) và \( (1 + 1)^3 = 2^3 = 8 \) (không thỏa mãn)
- \( b = 2 \): \( (10 \cdot 1 + 2)^2 = 12^2 = 144 \) và \( (1 + 2)^3 = 3^3 = 27 \) (không thỏa mãn)
- \( b = 3 \): \( (10 \cdot 1 + 3)^2 = 13^2 = 169 \) và \( (1 + 3)^3 = 4^3 = 64 \) (không thỏa mãn)
- \( b = 4 \): \( (10 \cdot 1 + 4)^2 = 14^2 = 196 \) và \( (1 + 4)^3 = 5^3 = 125 \) (không thỏa mãn)
- \( b = 5 \): \( (10 \cdot 1 + 5)^2 = 15^2 = 225 \) và \( (1 + 5)^3 = 6^3 = 216 \) (không thỏa mãn)
- \( b = 6 \): \( (10 \cdot 1 + 6)^2 = 16^2 = 256 \) và \( (1 + 6)^3 = 7^3 = 343 \) (không thỏa mãn)
- \( b = 7 \): \( (10 \cdot 1 + 7)^2 = 17^2 = 289 \) và \( (1 + 7)^3 = 8^3 = 512 \) (không thỏa mãn)
- \( b = 8 \): \( (10 \cdot 1 + 8)^2 = 18^2 = 324 \) và \( (1 + 8)^3 = 9^3 = 729 \) (không thỏa mãn)
- \( b = 9 \): \( (10 \cdot 1 + 9)^2 = 19^2 = 361 \) và \( (1 + 9)^3 = 10^3 = 1000 \) (không thỏa mãn)

2. **\( a = 2 \):**
- \( b = 1 \): \( (10 \cdot 2 + 1)^2 = 21^2 = 441 \) và \( (2 + 1)^3 = 3^3 = 27 \) (không thỏa mãn)
- \( b = 2 \): \( (10 \cdot 2 + 2)^2 = 22^2 = 484 \) và \( (2 + 2)^3 = 4^3 = 64 \) (không thỏa mãn)
- \( b = 3 \): \( (10 \cdot 2 + 3)^2 = 23^2 = 529 \) và \( (2 + 3)^3 = 5^3 = 125 \) (không thỏa mãn)
- \( b = 4 \): \( (10 \cdot 2 + 4)^2 = 24^2 = 576 \) và \( (2 + 4)^3 = 6^3 = 216 \) (không thỏa mãn)
- \( b = 5 \): \( (10 \cdot 2 + 5)^2 = 25^2 = 625 \) và \( (2 + 5)^3 = 7^3 = 343 \) (không thỏa mãn)
- \( b = 6 \): \( (10 \cdot 2 + 6)^2 = 26^2 = 676 \) và \( (2 + 6)^3 = 8^3 = 512 \) (không thỏa mãn)
- \( b = 7 \): \( (10 \cdot 2 + 7)^2 = 27^2 = 729 \) và \( (2 + 7)^3 = 9^3 = 729 \) (thỏa mãn)

Vậy số \( 27 \) thỏa mãn điều kiện \( (10a + b)^2 = (a + b)^3 \).

### Kết luận:
Số có 2 chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương tổng các chữ số của nó là \( 27 \).