Để giải bài toán này, chúng ta cần vẽ hình và chứng minh các tỉ lệ và tính chất đề bài yêu cầu.

### Bước 1: Vẽ hình
- Vẽ tam giác nhọn \( ABC \) với \( AB < AC \).
- Trên cạnh \( AB \), lấy điểm \( D \) sao cho \( AD = 1 \) cm và \( BD = 3 \) cm. Vậy, tổng chiều dài \( AB = AD + BD = 1 + 3 = 4 \) cm.
- Trên cạnh \( AC \), lấy điểm \( E \) sao cho \( AE = 2 \) cm và \( EC = 6 \) cm. Vậy, tổng chiều dài \( AC = AE + EC = 2 + 6 = 8 \) cm.

Ta có hình vẽ như sau:

```
C
/|
/ |
/ |
A---B
\ \
\ \
D---E
```

### Bước 2: Chứng minh tỉ lệ \( \frac{AD}{BD} = \frac{AE}{EC} \)

Tính tỉ số:
- \( AD = 1 \) cm, \( BD = 3 \) cm:
\[
\frac{AD}{BD} = \frac{1}{3}
\]

- \( AE = 2 \) cm, \( EC = 6 \) cm:
\[
\frac{AE}{EC} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
\]

Như vậy, chúng ta có:
\[
\frac{AD}{BD} = \frac{1}{3} \quad \text{và} \quad \frac{AE}{EC} = \frac{1}{3}
\]

Do đó:
\[
\frac{AD}{BD} = \frac{AE}{EC}
\]

### Bước 3: Chứng minh \( DE \parallel BC \)

Theo định lý tỉ lệ, nếu \( \frac{AD}{BD} = \frac{AE}{EC} \), thì đoạn thẳng \( DE \) sẽ song song với cạnh \( BC \).

Từ việc đã chứng minh được \( \frac{AD}{BD} = \frac{AE}{EC} \), theo định lý mở rộng của đoạn tỉ lệ, chúng ta có được:

\[
DE \parallel BC
\]

### Kết luận

1. Chúng ta đã chứng minh được tỉ lệ \( \frac{AD}{BD} = \frac{AE}{EC} \).
2. Từ tỉ lệ này, chúng ta kết luận rằng \( DE \) song song với \( BC \).

Hy vọng rằng cách giải thích và minh họa này đã rõ ràng và hữu ích cho bạn!