Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đặt số kẹo ban đầu của Mai và Lam là \( M \) và \( L \) tương ứng.

Theo đề bài, ta có các thông tin sau:
1. Mai có số kẹo bằng \(\frac{2}{3}\) số kẹo của Lam:
\[
M = \frac{2}{3}L
\]

2. Nếu Mai cho Lam 6 cái kẹo thì tỉ số kẹo của Mai và Lam là \(\frac{3}{7}\):
\[
\frac{M - 6}{L + 6} = \frac{3}{7}
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ giải hệ phương trình này.

**Bước 1:** Từ phương trình \( M = \frac{2}{3}L \), ta có:
\[
M = \frac{2}{3}L
\]

**Bước 2:** Thay \( M \) vào phương trình thứ hai:
\[
\frac{\frac{2}{3}L - 6}{L + 6} = \frac{3}{7}
\]

**Bước 3:** Giải phương trình này:
\[
\frac{\frac{2}{3}L - 6}{L + 6} = \frac{3}{7}
\]

Nhân chéo để loại bỏ phân số:
\[
7 \left(\frac{2}{3}L - 6\right) = 3(L + 6)
\]

Mở rộng và đơn giản hóa:
\[
7 \cdot \frac{2}{3}L - 7 \cdot 6 = 3L + 3 \cdot 6
\]
\[
\frac{14}{3}L - 42 = 3L + 18
\]

Nhân cả hai vế với 3 để loại bỏ mẫu số:
\[
14L - 126 = 9L + 54
\]

Chuyển các hạng tử chứa \( L \) về một vế và các hạng tử tự do về vế kia:
\[
14L - 9L = 54 + 126
\]
\[
5L = 180
\]

Chia cả hai vế cho 5:
\[
L = 36
\]

**Bước 4:** Tìm \( M \):
\[
M = \frac{2}{3}L = \frac{2}{3} \times 36 = 24
\]

Vậy, số kẹo ban đầu của Mai là 24 cái và của Lam là 36 cái.