Để chứng minh các tính chất hình học trong tam giác vuông ABC với các điểm đặc biệt như đã nêu, ta sẽ tiến hành các bước sau:

1. **Xác định các điểm và tính chất liên quan:**
- Tam giác ABC vuông tại A.
- Đường cao AH từ A đến BC.
- M là trung điểm của HC.
- N là trung điểm của AC.
- G là điểm trên AM sao cho GM = 1/2 GA.

2. **Chứng minh tam giác GAH và GMN đồng dạng:**
- Xét tam giác GAH và GMN:
- Vì G nằm trên AM và GM = 1/2 GA, nên G chia đoạn AM theo tỉ lệ 1:2.
- Do đó, ta có AG = 2GM.
- Trong tam giác vuông ABC, đường cao AH chia BC thành hai đoạn BH và HC sao cho BH/HC = AB^2/AC^2. Tuy nhiên, điều này không ảnh hưởng trực tiếp đến chứng minh của chúng ta.

3. **Chứng minh H, G, N thẳng hàng:**
- Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:
- AH là đường cao.
- M là trung điểm của HC, nên HM = MC.
- N là trung điểm của AC, nên AN = NC.
- G là điểm trên AM sao cho GM = 1/2 GA, tức là G chia AM theo tỉ lệ 1:2.
- Do đó, G là trọng tâm của tam giác AHC (vì trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến theo tỉ lệ 2:1).

4. **Chứng minh tam giác GAH và GMN đồng dạng:**
- Xét tam giác GAH và GMN:
- G là trọng tâm của tam giác AHC, nên G chia AM theo tỉ lệ 2:1.
- Do đó, AG = 2GM và GN = 2MN.
- Vì M và N là trung điểm của HC và AC, nên MN là đường trung bình của tam giác AHC.
- Do đó, MN // AH và MN = 1/2 AH.

5. **Chứng minh H, G, N thẳng hàng:**
- Vì MN // AH và MN = 1/2 AH, nên tam giác GMN đồng dạng với tam giác GAH theo tỉ lệ 1:2.
- Do đó, các điểm H, G, N thẳng hàng.

Tóm lại, ta đã chứng minh được rằng tam giác GAH và GMN đồng dạng và các điểm H, G, N thẳng hàng.