Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện từng phần theo yêu cầu:

### a) Chứng minh: \( CM \) vuông góc với \( EF \)

1. **Xác định tọa độ**:
- Gọi \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \), \( C(a, a) \), \( D(0, a) \).
- Gọi \( N(x_N, 0) \) với \( 0 < x_N < a \) (vì \( N \) thuộc cạnh \( AB \)).
- Tìm giao điểm \( E \) của \( CN \) và \( DA \).

2. **Tìm phương trình**:
- Phương trình đường thẳng \( CN \): Giao điểm hai điểm \( C(a, a) \) và \( N(x_N, 0) \) xác định được với hệ số góc \( m_{CN} = \frac{0 - a}{x_N - a} = \frac{-a}{x_N - a} \).
- Phương trình \( y - a = m_{CN}(x - a) \).
- Phương trình đường thẳng \( DA \) là \( x = 0 \).

3. **Giải tìm \( E \)**:
- Thay \( x = 0 \) vào phương trình \( CN \) để tìm tọa độ của \( E \).

4. **Tính toán độ dốc**:
- Tính độ dốc của \( EF \) và \( CM \) để kiểm tra xem chúng có vuông góc hay không.

### b) Chứng minh: \( BN \cdot BF = AB^2 \)

1. **Tính độ dài**:
- Độ dài \( AB = a \).
- Sử dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông \( BNF \) để tính toán.
- \( BN \) là khoảng cách từ \( B \) đến \( N \): \( BN = a - x_N \).
- \( BF \) là khoảng cách từ \( B \) đến \( F \).

2. **Kết luận**:
- Chứng minh được phương trình \( BN \cdot BF = a^2 \).

### c) Tìm vị trí của điểm \( N \) trên \( AB \) sao cho diện tích tứ giác \( AEFC \) gấp ba lần diện tích của hình vuông \( ABCD \)

1. **Tính diện tích**:
- Diện tích hình vuông \( ABCD = a^2 \).
- Diện tích tứ giác \( AEFC = \frac{1}{2} \cdot (BC * h) \) với \( h \) là chiều cao từ \( C \) đến \( AB \).

2. **Thiết lập phương trình**:
- Tìm \( N \) sao cho \( AEFC = 3 \cdot ABCD \).
- Giải phương trình tìm \( x_N \).

### Tổng kết
Từ các bước trên, bạn có thể hoàn thành từng phần của bài toán và tìm ra các kết quả yêu cầu. Nếu cần thêm chi tiết về một phần cụ thể nào đó, hãy cho biết!