Để giải bài toán này, ta cần tìm các giá trị của \( x \) và \( y \) sao cho biểu thức \( |2x-1| + (3y + x)^{2024} \) bé hơn hoặc bằng 0.

Trước hết, ta xét từng phần của biểu thức:

1. \( |2x-1| \) là giá trị tuyệt đối của \( 2x-1 \), do đó \( |2x-1| \geq 0 \) với mọi \( x \).
2. \( (3y + x)^{2024} \) là một lũy thừa với số mũ chẵn, do đó \( (3y + x)^{2024} \geq 0 \) với mọi \( x \) và \( y \).

Tổng của hai biểu thức này là:
\[ |2x-1| + (3y + x)^{2024} \geq 0 \]

Để tổng này bé hơn hoặc bằng 0, cả hai phần tử phải bằng 0:
\[ |2x-1| = 0 \]
và
\[ (3y + x)^{2024} = 0 \]

Giải phương trình thứ nhất:
\[ |2x-1| = 0 \]
\[ 2x - 1 = 0 \]
\[ 2x = 1 \]
\[ x = \frac{1}{2} \]

Giải phương trình thứ hai:
\[ (3y + x)^{2024} = 0 \]
\[ 3y + x = 0 \]
Thay \( x = \frac{1}{2} \) vào:
\[ 3y + \frac{1}{2} = 0 \]
\[ 3y = -\frac{1}{2} \]
\[ y = -\frac{1}{6} \]

Vậy, cặp giá trị \( x \) và \( y \) thỏa mãn điều kiện của bài toán là:
\[ x = \frac{1}{2} \]
\[ y = -\frac{1}{6} \]

Kết luận:
\[ x = \frac{1}{2}, y = -\frac{1}{6} \]