Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện các bước sau:

### a) Tính diện tích hình vuông MNPQ

Hình vuông MNPQ có cạnh \( a = 12 \) cm.

Diện tích hình vuông được tính theo công thức:
\[ S = a^2 \]

Thay giá trị \( a \) vào công thức:
\[ S = 12^2 = 144 \text{ cm}^2 \]

### b) Tính diện tích tam giác MNH

Tam giác \( MNH \) có cạnh \( MN \) là cạnh của hình vuông, tức là \( MN = 12 \) cm. \( H \) là trung điểm của \( NP \), do đó \( NH = \frac{NP}{2} = \frac{12}{2} = 6 \) cm.

Tam giác \( MNH \) là tam giác vuông tại \( N \) (vì \( MN \) và \( NH \) là hai cạnh của hình vuông).

Diện tích tam giác vuông được tính theo công thức:
\[ S = \frac{1}{2} \times \text{cạnh góc vuông thứ nhất} \times \text{cạnh góc vuông thứ hai} \]

Thay giá trị vào công thức:
\[ S = \frac{1}{2} \times 12 \times 6 = 36 \text{ cm}^2 \]

### c) So sánh diện tích tam giác MHE với diện tích hình vuông MNPQ

Tam giác \( MHE \) có \( E \) là trung điểm của \( MN \) và \( H \) là trung điểm của \( NP \).

Do đó, \( ME = \frac{MN}{2} = \frac{12}{2} = 6 \) cm và \( NH = 6 \) cm.

Tam giác \( MHE \) là tam giác vuông tại \( E \) (vì \( ME \) và \( EH \) là hai đoạn thẳng vuông góc).

Diện tích tam giác \( MHE \) được tính theo công thức:
\[ S = \frac{1}{2} \times ME \times EH \]

Ta cần tính \( EH \). Vì \( H \) là trung điểm của \( NP \) và \( E \) là trung điểm của \( MN \), \( EH \) là đường chéo của hình vuông nhỏ có cạnh bằng một nửa cạnh của hình vuông lớn.

Đường chéo của hình vuông nhỏ có cạnh \( 6 \) cm là:
\[ EH = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \text{ cm} \]

Diện tích tam giác \( MHE \):
\[ S = \frac{1}{2} \times 6 \times 6\sqrt{2} = 18\sqrt{2} \text{ cm}^2 \]

So sánh diện tích tam giác \( MHE \) với diện tích hình vuông \( MNPQ \):
\[ 18\sqrt{2} \text{ cm}^2 \quad \text{so với} \quad 144 \text{ cm}^2 \]

Ta thấy rằng:
\[ 18\sqrt{2} \approx 18 \times 1.414 = 25.452 \text{ cm}^2 \]

Do đó, diện tích tam giác \( MHE \) nhỏ hơn diện tích hình vuông \( MNPQ \).