Để giải quyết các bài toán hình học này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của trung tuyến, trung điểm, và các định lý về đồng quy.

### Phần a:
**Chứng minh tam giác ADC = tam giác MDB và BM // AC.**

1. **Chứng minh tam giác ADC = tam giác MDB:**

- Vì D là trung điểm của BC, nên \(BD = DC\).
- M là điểm thuộc AD sao cho D là trung điểm của AM, tức là \(AD = DM\).
- Do đó, \(AD = DM\) và \(BD = DC\).
- Góc \( \angle ADB \) chung cho hai tam giác ADC và MDB.

Từ đó, ta có tam giác ADC và tam giác MDB bằng nhau theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (SAS).

2. **Chứng minh BM // AC:**

- Do tam giác ADC và tam giác MDB bằng nhau, nên các góc tương ứng bằng nhau.
- Cụ thể, góc \( \angle ACD = \angle MDB \).
- Vì \(D\) là trung điểm của \(BC\), nên \(BD = DC\).
- Do đó, \(BM\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\), và \(BM\) song song với \(AC\).

### Phần b:
**Gọi N là trung điểm của AC. Đường thẳng ND cắt MB tại K. Chứng minh D là trung điểm của KN.**

1. **Chứng minh D là trung điểm của KN:**

- Vì N là trung điểm của AC, nên \(AN = NC\).
- D là trung điểm của BC, nên \(BD = DC\).
- Xét tam giác \(ABC\) với các trung tuyến \(AD\) và \(ND\):
- \(AD\) và \(ND\) cắt nhau tại điểm \(G\) (trọng tâm của tam giác \(ABC\)).
- \(M\) là điểm trên \(AD\) sao cho \(D\) là trung điểm của \(AM\), tức là \(AD = DM\).
- Đường thẳng \(ND\) cắt \(MB\) tại \(K\).

Do \(D\) là trung điểm của \(BC\) và \(N\) là trung điểm của \(AC\), nên \(ND\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\). Khi \(ND\) cắt \(MB\) tại \(K\), thì \(K\) là điểm chia đoạn \(MB\) theo tỉ lệ 2:1 (tính từ \(M\) đến \(B\)).

Vì \(D\) là trung điểm của \(BC\), nên \(D\) cũng là trung điểm của đoạn \(KN\).

### Phần c:
**Gọi I, E lần lượt là trung điểm của AK và AB. Chứng minh AD, CE, NI đồng quy.**

1. **Chứng minh AD, CE, NI đồng quy:**

- \(I\) là trung điểm của \(AK\), \(E\) là trung điểm của \(AB\).
- \(AD\) là trung tuyến của tam giác \(ABC\).
- \(N\) là trung điểm của \(AC\).

Xét tam giác \(AKN\):
- \(I\) là trung điểm của \(AK\).
- \(N\) là trung điểm của \(AC\).
- \(D\) là trung điểm của \(KN\).

Do đó, \(AD\), \(CE\), và \(NI\) là các đường trung tuyến của tam giác \(AKN\), và chúng đồng quy tại trọng tâm của tam giác \(AKN\).

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng \(AD\), \(CE\), và \(NI\) đồng quy.