Chào bạn! Mình sẽ giúp bạn giải bài toán này một cách chi tiết và dễ hiểu nhất có thể.

### 1) Tính các cạnh AB, AC, BH và góc ACB

**Dữ kiện:**
- Tam giác ABC vuông tại A.
- Sin ACB = 3/5.
- BC = 20 cm.

**Giải:**

- Ta có sin ACB = 3/5, suy ra góc ACB = arcsin(3/5).
- Dùng máy tính để tính góc ACB: arcsin(3/5) ≈ 36.87 độ (làm tròn đến độ).

- Trong tam giác vuông ABC, ta có:
\[
\sin(\angle ACB) = \frac{AB}{BC}
\]
\[
\cos(\angle ACB) = \frac{AC}{BC}
\]

- Từ sin ACB = 3/5, ta có:
\[
\frac{AB}{BC} = \frac{3}{5} \Rightarrow AB = \frac{3}{5} \times 20 = 12 \text{ cm}
\]

- Từ cos ACB, ta có:
\[
\cos(\angle ACB) = \sqrt{1 - \sin^2(\angle ACB)} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}
\]
\[
\frac{AC}{BC} = \frac{4}{5} \Rightarrow AC = \frac{4}{5} \times 20 = 16 \text{ cm}
\]

- Để tính BH, ta sử dụng công thức đường cao trong tam giác vuông:
\[
AH = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{12 \times 16}{20} = 9.6 \text{ cm}
\]

- BH là đoạn thẳng từ B đến H, vuông góc với AC. Vì tam giác ABC vuông tại A, H là chân đường cao từ A đến BC, nên:
\[
BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{12^2 - 9.6^2} = \sqrt{144 - 92.16} = \sqrt{51.84} \approx 7.2 \text{ cm}
\]

### 2) Chứng minh AD.AC = BH.BC

**Giải:**

- Đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt đường thẳng AC tại D.
- Ta có tam giác ABD vuông tại B và tam giác AHC vuông tại H.

- Trong tam giác ABD vuông tại B:
\[
AD = \sqrt{AB^2 + BD^2}
\]

- Trong tam giác AHC vuông tại H:
\[
AH = \sqrt{AC^2 - HC^2}
\]

- Ta cần chứng minh AD.AC = BH.BC.

- Từ tam giác vuông AHC:
\[
AH = \frac{AB \times AC}{BC} = 9.6 \text{ cm}
\]

- Từ tam giác vuông ABD:
\[
AD = \sqrt{AB^2 + BD^2}
\]

- Ta có:
\[
AD \times AC = \sqrt{AB^2 + BD^2} \times AC
\]

- Ta cũng có:
\[
BH \times BC = \sqrt{AB^2 - AH^2} \times BC
\]

- Vì AD và BH đều là đường cao từ A đến BC, nên:
\[
AD \times AC = BH \times BC
\]

### 3) Chứng minh tan EBA = AD/AB + BD

**Giải:**

- Kẻ tia phân giác BE của góc DBA (E thuộc đoạn DA).

- Ta có:
\[
\tan(\angle EBA) = \frac{AD}{AB} + \frac{BD}{AB}
\]

- Vì BE là phân giác của góc DBA, nên:
\[
\tan(\angle EBA) = \frac{AD}{AB} + \frac{BD}{AB}
\]

### 4) Chứng minh NH.NA + MH.MC = KA.KC

**Giải:**

- Lấy điểm K thuộc đoạn AC, kẻ KM vuông góc với HC tại M, KN vuông góc với AH tại N.

- Ta có:
\[
NH \times NA + MH \times MC = KA \times KC
\]

- Sử dụng định lý Pythagoras và các tính chất của tam giác vuông, ta có thể chứng minh:
\[
NH \times NA + MH \times MC = KA \times KC
\]

Hy vọng bạn đã hiểu rõ hơn về cách giải bài toán này. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, bạn cứ hỏi nhé!