Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( M = x^2 - 8x + 5 \), ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm hoặc hoàn thành bình phương.

### Phương pháp hoàn thành bình phương

Hàm số \( M = x^2 - 8x + 5 \) có thể được viết lại dưới dạng bình phương hoàn chỉnh như sau:

\[ M = x^2 - 8x + 5 \]

Ta thêm và bớt \( 16 \) (vì \( \left(\frac{8}{2}\right)^2 = 16 \)):

\[ M = x^2 - 8x + 16 - 16 + 5 \]
\[ M = (x - 4)^2 - 11 \]

Dễ thấy rằng \( (x - 4)^2 \) luôn không âm và đạt giá trị nhỏ nhất là 0 khi \( x = 4 \). Khi đó:

\[ M = (4 - 4)^2 - 11 = 0 - 11 = -11 \]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( M \) là \( -11 \) khi \( x = 4 \).

### Phương pháp đạo hàm

Ta cũng có thể tìm giá trị nhỏ nhất bằng cách sử dụng đạo hàm. Đạo hàm của hàm số \( M = x^2 - 8x + 5 \) là:

\[ M' = 2x - 8 \]

Đặt \( M' = 0 \) để tìm điểm cực trị:

\[ 2x - 8 = 0 \]
\[ x = 4 \]

Để xác định đó là điểm cực tiểu, ta xét đạo hàm bậc hai:

\[ M'' = 2 \]

Vì \( M'' > 0 \), hàm số có cực tiểu tại \( x = 4 \). Giá trị của hàm số tại \( x = 4 \) là:

\[ M(4) = 4^2 - 8 \cdot 4 + 5 = 16 - 32 + 5 = -11 \]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( M \) là \( -11 \) khi \( x = 4 \).

Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của \( M = x^2 - 8x + 5 \) là \( -11 \) khi \( x = 4 \).