Cho phương trình \( x^2 - 4x + m - 1 = 0 \). Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \( x_1 (x_2 + 2) + x_2 (x_1 + 2) = 20 \)

Để giải bài toán, ta bắt đầu bằng việc đặt phương trình \( x^2 - 4x + m - 1 = 0 \) có nghiệm \( x_1 \) và \( x_2 \). Ta biết rằng điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\[
\Delta = b^2 - 4ac > 0
\]

Với \( a = 1, b = -4, c = m - 1 \):

\[
\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m - 1) = 16 - 4(m - 1) = 16 - 4m + 4 = 20 - 4m
\]

Để có hai nghiệm phân biệt, ta có điều kiện:

\[
20 - 4m > 0 \Rightarrow 20 > 4m \Rightarrow 5 > m
\]

Tiếp theo, từ điều kiện bài toán \( x_1(x_2 + 2) + x_2(x_1 + 2) = 20 \), ta có thể biến đổi nó như sau:

\[
x_1 \cdot x_2 + 2(x_1 + x_2) = 20
\]

Ta biết từ hệ thức Viète:

- \( x_1 + x_2 = 4 \)
- \( x_1 x_2 = m - 1 \)

Khoảng thay vào biểu thức trên:

\[
x_1 x_2 + 2(4) = 20 \Rightarrow m - 1 + 8 = 20
\]

Từ đó ta suy ra:

\[
m + 7 = 20 \Rightarrow m = 13
\]

Giờ kiểm tra điều kiện với \( m = 13 \):

\[
20 - 4m = 20 - 4 \cdot 13 = 20 - 52 = -32 < 0
\]

Điều này không thỏa mãn. Vậy ta cần tìm \( m \) sao cho \( m < 5 \) và kiểm tra các giá trị nhỏ hơn 5.

Từ biểu thức:

\[
m - 1 + 8 = 20 \Rightarrow m = 13
\]

Vậy không có giá trị nào của \( m \) thỏa mãn hai điều kiện cùng lúc. Vì vậy, phương trình không có giá trị \( m \) nào thỏa mãn cả hai điều kiện: có hai nghiệm phân biệt và thỏa mãn điều kiện nghiệm.