Để giải quyết bài toán trên, chúng ta sẽ đi từng bước một cho mỗi câu hỏi.

### Câu a: Chứng minh rằng đường tròn đường kính CD tiếp xúc với đường thẳng AB.

1. **Xác định các điểm và các thuộc tính:**
- Gọi \( O \) là tâm của nửa đường tròn, \( AB \) là đường kính của nửa đường tròn.
- Điểm \( M \) nằm trong nửa đường tròn, và ta đã vẽ các tiếp tuyến \( Ax \) và \( By \) tại các điểm \( A \) và \( B \).
- Các tiếp tuyến tại điểm \( M \) cắt \( Ax \) tại điểm \( C \) và cắt \( By \) tại điểm \( D \).

2. **Chứng minh đường tròn đường kính CD tiếp xúc với đường thẳng AB:**
- Đường tròn đường kính \( CD \) có tâm là trung điểm \( E \) của đoạn \( CD \) và bán kính bằng \( \frac{1}{2}CD \).
- Ta cần chứng minh rằng đường tròn này chạm vào đường thẳng \( AB \).
- Đường thẳng \( AB \) vuông góc với đoạn thẳng \( OM \) (bởi vì \( O \) thuộc đường kính của nửa đường tròn và M thuộc nửa đường tròn). Theo định lý tiếp tuyến, chiều cao từ \( E \) đến đường thẳng \( AB \) bằng bán kính \( CD \) khi \( O \) nằm trên đoạn nối \( CD \).
- Khi đó, tam giác \( OME \) vuông tại \( O \) (vì \( OM \) vuông góc với \( AB \)).
- Do đó, \( EO \) sẽ vuông góc với \( AB \). Khi điểm \( E \) nằm trên đường bờ tại điểm tiếp xúc, chứng tỏ rằng đường tròn đường kính \( CD \) sẽ tiếp xúc với đường thẳng \( AB \).

### Câu b: Tìm vị trí của điểm M để hình thang ABCD có chu vi nhỏ nhất.

1. **Xác định chu vi của hình thang ABCD:**
- Chu vi \( P \) của hình thang ABCD được tính bằng \( P = AB + AD + BC \).
- Trong đó, chiều dài của \( AD \) và \( BC \) phụ thuộc vào vị trí của điểm \( M \).

2. **Chú ý về sự đối xứng:**
- Hình thang ABCD là đối xứng qua trục \( O \) do \( AB \) là đường kính và cạnh \( CD \) tương đối.
- Để hình thang ABCD có chu vi nhỏ nhất, cần đặt \( M \) nằm trên đường thẳng vuông góc với \( AB \) tại điểm trung gian của đoạn \( AB \).

3. **Tính toán chu vi của A, B và M:**
- Khi \( M \) di chuyển từ đầu này sang đầu kia của nửa đường tròn, chiều dài mỗi cạnh kéo theo biến động. Hình thang sẽ trở lên tối thiểu khi các đoạn từ điểm A và B đến điểm M đều bằng nhau, có nghĩa là đặt \( M \) ở vị trí sao cho \( AM = BM \).

4. **Kết luận:**
- Vị trí của \( M \) để hình thang ABCD có chu vi nhỏ nhất sẽ là điểm trung điểm trên nửa đường tròn, thỏa mãn điều kiện rằng hai đoạn \( AM \) và \( BM \) đều bằng nhau.

Hy vọng với những hướng dẫn trên, bạn sẽ tìm ra lời giải cho bài toán của mình một cách dễ dàng. Chúc bạn học tốt!