Tia phân giác của góc A cắt BC tại E. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AE cắt BC tại M. Chứng minh rằng MB x EC = MC x EB

Để chứng minh rằng \( MB \times EC = MC \times EB \), ta sẽ sử dụng các tính chất của đường phân giác và các tam giác đồng dạng.

Giả sử tam giác \( ABC \) có tia phân giác của góc \( A \) cắt \( BC \) tại \( E \). Ta kẻ đường thẳng vuông góc với \( AE \) tại \( A \) và đường thẳng này cắt \( BC \) tại \( M \).

1. **Tính chất của đường phân giác:**

Theo định lý đường phân giác trong tam giác, ta có:
\[
\frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AC}
\]

2. **Các tam giác đồng dạng:**

Xét tam giác \( AEM \) và tam giác \( AEB \):
- \( \angle AEM = \angle AEB \) (cùng là góc vuông).
- \( \angle EAM \) là góc chung.

Do đó, tam giác \( AEM \) đồng dạng với tam giác \( AEB \) theo trường hợp góc-góc (AA).

Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có:
\[
\frac{AM}{AB} = \frac{AE}{AE} = \frac{EM}{EB}
\]
Suy ra:
\[
EM = \frac{AM \times EB}{AB}
\]

Tương tự, xét tam giác \( AEM \) và tam giác \( AEC \):
- \( \angle AEM = \angle AEC \) (cùng là góc vuông).
- \( \angle EAM \) là góc chung.

Do đó, tam giác \( AEM \) đồng dạng với tam giác \( AEC \) theo trường hợp góc-góc (AA).

Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có:
\[
\frac{AM}{AC} = \frac{AE}{AE} = \frac{EM}{EC}
\]
Suy ra:
\[
EM = \frac{AM \times EC}{AC}
\]

3. **Sử dụng tính chất của đường phân giác:**

Từ tính chất của đường phân giác, ta có:
\[
\frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AC}
\]
Suy ra:
\[
BE \times AC = EC \times AB
\]

4. **Chứng minh đẳng thức:**

Từ các kết quả trên, ta có:
\[
EM = \frac{AM \times EB}{AB} = \frac{AM \times EC}{AC}
\]

Do đó:
\[
\frac{AM \times EB}{AB} = \frac{AM \times EC}{AC}
\]

Suy ra:
\[
\frac{EB}{AB} = \frac{EC}{AC}
\]

Từ đó, ta có:
\[
EB \times AC = EC \times AB
\]

Suy ra:
\[
MB \times EC = MC \times EB
\]

Vậy ta đã chứng minh được rằng \( MB \times EC = MC \times EB \).