Để giải quyết các bài toán hình học này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của hình thoi, tam giác cân và các đường trung tuyến, song song.

### a) Chứng minh: APMN là hình thoi.

1. **Tính chất của tam giác cân và trung tuyến:**
- ΔABC cân tại A, nên AB = AC.
- AM là trung tuyến, nên M là trung điểm của BC.

2. **Đường thẳng qua M song song với AC và cắt AB tại N:**
- Do M là trung điểm của BC và MN // AC, nên MN = AC/2 (vì ΔAMN là tam giác đồng dạng với ΔAMC theo tỉ lệ 1:2).

3. **Đường thẳng qua M song song với AB và cắt AC tại P:**
- Tương tự, MP // AB và MP = AB/2.

4. **Chứng minh APMN là hình thoi:**
- Ta có: MN // AC và MP // AB.
- ΔABC cân tại A nên AB = AC.
- Do đó, MN = MP.
- Tứ giác APMN có các cạnh đối song song và bằng nhau (MN = MP và AN = AP), nên APMN là hình thoi.

### b) Lấy K sao cho P là trung điểm MK. Chứng minh: O là trung điểm BK.

1. **Xác định vị trí của K:**
- P là trung điểm của MK, nên K nằm trên đường thẳng kéo dài từ M qua P.

2. **Chứng minh O là trung điểm của BK:**
- Do P là trung điểm của MK, nên MP = PK.
- Từ phần a, ta biết APMN là hình thoi, nên AM = MP.
- Vì M là trung điểm của BC, nên AM = MB.
- Do đó, MB = MP = PK.
- Vì O là trung điểm của AM và AM = MB, nên O cũng là trung điểm của BK.

### c) Gọi O là giao điểm AM và NP. Chứng minh: O là trung điểm BK.

1. **Xác định vị trí của O:**
- O là giao điểm của AM và NP.

2. **Chứng minh O là trung điểm của BK:**
- Từ phần a, ta biết APMN là hình thoi, nên AM = MP.
- Từ phần b, ta biết P là trung điểm của MK.
- Do đó, NP cắt AM tại trung điểm của AM (vì NP là đường trung bình của ΔAMC).
- Vì AM = MB và O là trung điểm của AM, nên O cũng là trung điểm của BK.

### d) Tìm điều kiện để ΔABC là hình vuông.

1. **Điều kiện để ΔABC là hình vuông:**
- ΔABC là tam giác cân tại A và có một góc vuông.
- Để ΔABC là hình vuông, góc BAC phải bằng 90 độ.
- Khi đó, tam giác ABC sẽ có các cạnh AB = AC và góc BAC = 90 độ, dẫn đến ΔABC là hình vuông.

Tóm lại, điều kiện để ΔABC là hình vuông là góc BAC = 90 độ.