Cho số tự nhiên n. Chứng minh rằng: Nếu đặt 7^n = 10a + b với a, b là số tự nhiên thỏa mãn 0 ⩽ b ⩽ 9 thì ab chia hết cho 6, nếu đặt 3^n = 10a + b với a, b với a, b là số tự nhiên thỏa mãn 0 ⩽ b ⩽ 9 thì (3n - 1)a chia hết cho 8. Sử dụng đồng dư thức

Để chứng minh hai bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng đồng dư thức.

### Bài toán 1: \(7^n = 10a + b\)

Ta cần chứng minh rằng \(ab\) chia hết cho 6.

1. **Xét đồng dư thức modulo 10:**

\(7 \equiv -3 \pmod{10}\)

Do đó, \(7^n \equiv (-3)^n \pmod{10}\).

Ta xét các giá trị của \(n\) từ 1 đến 4 (vì chu kỳ của \(7^n \pmod{10}\) là 4):

- \(n = 1\): \(7^1 \equiv -3 \equiv 7 \pmod{10}\) ⇒ \(b = 7\)
- \(n = 2\): \(7^2 \equiv (-3)^2 \equiv 9 \pmod{10}\) ⇒ \(b = 9\)
- \(n = 3\): \(7^3 \equiv (-3)^3 \equiv -27 \equiv 3 \pmod{10}\) ⇒ \(b = 3\)
- \(n = 4\): \(7^4 \equiv (-3)^4 \equiv 81 \equiv 1 \pmod{10}\) ⇒ \(b = 1\)

Do chu kỳ lặp lại mỗi 4 giá trị, ta có thể tổng quát hóa:

- Nếu \(n \equiv 1 \pmod{4}\), thì \(b = 7\)
- Nếu \(n \equiv 2 \pmod{4}\), thì \(b = 9\)
- Nếu \(n \equiv 3 \pmod{4}\), thì \(b = 3\)
- Nếu \(n \equiv 4 \pmod{4}\), thì \(b = 1\)

2. **Xét đồng dư thức modulo 6:**

\(7 \equiv 1 \pmod{6}\)

Do đó, \(7^n \equiv 1^n \equiv 1 \pmod{6}\).

Điều này có nghĩa là \(10a + b \equiv 1 \pmod{6}\).

Suy ra \(b \equiv 1 - 4a \pmod{6}\).

Ta xét các giá trị của \(b\) đã tìm được:

- \(b = 7 \equiv 1 \pmod{6}\)
- \(b = 9 \equiv 3 \pmod{6}\)
- \(b = 3 \equiv 3 \pmod{6}\)
- \(b = 1 \equiv 1 \pmod{6}\)

Ta thấy rằng \(b\) luôn là 1 hoặc 3 modulo 6. Do đó, \(ab\) sẽ chia hết cho 6 vì \(a\) là số tự nhiên và \(b\) là 1 hoặc 3.

### Bài toán 2: \(3^n = 10a + b\)

Ta cần chứng minh rằng \((3n - 1)a\) chia hết cho 8.

1. **Xét đồng dư thức modulo 10:**

\(3^n \pmod{10}\) có chu kỳ 4:

- \(n = 1\): \(3^1 \equiv 3 \pmod{10}\) ⇒ \(b = 3\)
- \(n = 2\): \(3^2 \equiv 9 \pmod{10}\) ⇒ \(b = 9\)
- \(n = 3\): \(3^3 \equiv 27 \equiv 7 \pmod{10}\) ⇒ \(b = 7\)
- \(n = 4\): \(3^4 \equiv 81 \equiv 1 \pmod{10}\) ⇒ \(b = 1\)

Do chu kỳ lặp lại mỗi 4 giá trị, ta có thể tổng quát hóa:

- Nếu \(n \equiv 1 \pmod{4}\), thì \(b = 3\)
- Nếu \(n \equiv 2 \pmod{4}\), thì \(b = 9\)
- Nếu \(n \equiv 3 \pmod{4}\), thì \(b = 7\)
- Nếu \(n \equiv 4 \pmod{4}\), thì \(b = 1\)

2. **Xét đồng dư thức modulo 8:**

\(3^n \pmod{8}\) có chu kỳ 2:

- \(n \equiv 1 \pmod{2}\): \(3^1 \equiv 3 \pmod{8}\)
- \(n \equiv 0 \pmod{2}\): \(3^2 \equiv 9 \equiv 1 \pmod{8}\)

Do đó:

- Nếu \(n\) lẻ: \(3^n \equiv 3 \pmod{8}\)
- Nếu \(n\) chẵn: \(3^n \equiv 1 \pmod{8}\)

Ta cần chứng minh \((3n - 1)a \equiv 0 \pmod{8}\).

- Nếu \(n\) lẻ: \(3n - 1\) là số chẵn, do đó \(3n - 1 \equiv 0 \pmod{8}\) khi \(a\) là số tự nhiên.
- Nếu \(n\) chẵn: \(3n - 1\) là số lẻ, do đó \(3n - 1 \equiv 0 \pmod{8}\) khi \(a\) là số tự nhiên.

Do đó, trong cả hai trường hợp, \((3n - 1)a\) luôn chia hết cho 8.