Để tính HC trong bài 4, ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AHC.

Theo định lý Pythagoras:
\[ AC^2 = AH^2 + HC^2 \]

Ta có:
\[ AC = 13 \]
\[ AH = 8 \]

Thay vào công thức:
\[ 13^2 = 8^2 + HC^2 \]
\[ 169 = 64 + HC^2 \]
\[ HC^2 = 169 - 64 \]
\[ HC^2 = 105 \]
\[ HC = \sqrt{105} \]

Vậy, HC = \(\sqrt{105}\).

---

Để tính chu vi của tam giác ABC trong bài 5, ta cần tính độ dài các cạnh AB và BC.

Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AHB:
\[ AB^2 = AH^2 + BH^2 \]
\[ AB^2 = 12^2 + 5^2 \]
\[ AB^2 = 144 + 25 \]
\[ AB^2 = 169 \]
\[ AB = \sqrt{169} \]
\[ AB = 13 \]

Tiếp theo, tính BC:
\[ BC = BH + HC \]
\[ BH = 5 \]
\[ HC = \sqrt{(AC^2 - AH^2)} = \sqrt{(20^2 - 12^2)} = \sqrt{(400 - 144)} = \sqrt{256} = 16 \]

Vậy, BC = 5 + 16 = 21.

Chu vi của tam giác ABC là:
\[ AB + BC + AC = 13 + 21 + 20 = 54 \]

Vậy, chu vi của tam giác ABC là 54 cm.