Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức hình học cơ bản và một số định lý trong tam giác vuông.

### Bài 1: Cho hình thang cân ABCD có độ dài cạnh đáy là AB = 26 cm và cạnh bên AD = 10 cm, đường chéo AC vuông góc với cạnh bên. Tính diện tích S của hình thang ABCD.

1. **Xác định các yếu tố cơ bản:**
- AB = 26 cm (cạnh đáy lớn)
- AD = 10 cm (cạnh bên)
- AC vuông góc với AD

2. **Tính chiều cao của hình thang:**
- Vì AC vuông góc với AD, tam giác ACD là tam giác vuông tại A.
- Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ACD:
\[
AC^2 + AD^2 = CD^2
\]
Giả sử AC = h (chiều cao của hình thang), ta có:
\[
h^2 + 10^2 = CD^2
\]
\[
h^2 + 100 = CD^2
\]

3. **Tính cạnh đáy nhỏ CD:**
- Vì hình thang ABCD là hình thang cân, nên CD = AB - 2x, trong đó x là đoạn thẳng từ A đến chân đường cao hạ từ A xuống AB.
- Do đó, CD = 26 - 2x.

4. **Tính x:**
- Trong tam giác vuông ACD, ta có:
\[
h^2 + 100 = (26 - 2x)^2
\]
- Giải phương trình này để tìm h và x.

5. **Tính diện tích S của hình thang:**
- Diện tích hình thang được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \times (AB + CD) \times h
\]

### Bài 2: Cho hình thang vuông ABCD tại A và D. Đường chéo BD vuông góc BC, biết AD = 12 cm, BD = 25 cm. Tính AB, BC.

1. **Xác định các yếu tố cơ bản:**
- AD = 12 cm (cạnh bên vuông góc với AB)
- BD = 25 cm (đường chéo vuông góc với BC)

2. **Tính AB:**
- Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABD:
\[
AB^2 + AD^2 = BD^2
\]
\[
AB^2 + 12^2 = 25^2
\]
\[
AB^2 + 144 = 625
\]
\[
AB^2 = 481
\]
\[
AB = \sqrt{481} \approx 21.93 \text{ cm}
\]

3. **Tính BC:**
- Vì BD vuông góc với BC, tam giác BCD là tam giác vuông tại B.
- Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông BCD:
\[
BC^2 + BD^2 = CD^2
\]
- CD = AB (vì hình thang vuông tại A và D)
\[
BC^2 + 25^2 = 21.93^2
\]
\[
BC^2 + 625 = 481
\]
\[
BC^2 = 481 - 625
\]
\[
BC^2 = -144
\]
- Điều này không hợp lý, do đó cần kiểm tra lại các giả thiết và cách tính.

### Kết luận:
- Bài toán 1 cần giải phương trình để tìm chiều cao và sau đó tính diện tích.
- Bài toán 2 có thể có sai sót trong giả thiết hoặc cách tính, cần kiểm tra lại các bước tính toán.