Để phân tích đa thức \(4x^2 + \frac{1}{4} + 2x\) thành nhân tử, chúng ta có thể sử dụng hằng đẳng thức. Đầu tiên, chúng ta sẽ sắp xếp lại các hạng tử để dễ nhận ra hằng đẳng thức.

Đa thức ban đầu là:
\[ 4x^2 + \frac{1}{4} + 2x \]

Chúng ta có thể nhận thấy rằng \(4x^2\) và \(\frac{1}{4}\) là các bình phương hoàn hảo. Hãy xem xét hằng đẳng thức:
\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]

Trong trường hợp này, chúng ta cần tìm \(a\) và \(b\) sao cho:
\[ a^2 = 4x^2 \]
\[ b^2 = \frac{1}{4} \]
\[ 2ab = 2x \]

Từ \(a^2 = 4x^2\), ta có:
\[ a = 2x \]

Từ \(b^2 = \frac{1}{4}\), ta có:
\[ b = \frac{1}{2} \]

Bây giờ, kiểm tra xem \(2ab\) có bằng \(2x\) không:
\[ 2ab = 2 \cdot (2x) \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = 2x \]

Điều này đúng, vì vậy chúng ta có thể viết lại đa thức ban đầu dưới dạng hằng đẳng thức:
\[ 4x^2 + \frac{1}{4} + 2x = (2x + \frac{1}{2})^2 \]

Vậy, đa thức \(4x^2 + \frac{1}{4} + 2x\) được phân tích thành nhân tử là:
\[ (2x + \frac{1}{2})^2 \]