Để tính diện tích \( S \) của hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = 3x^2 \) và \( y = x + 2 \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Tìm giao điểm của hai đường**:
Giải phương trình \( 3x^2 = x + 2 \):
\[
3x^2 - x - 2 = 0
\]
Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Với \( a = 3 \), \( b = -1 \), \( c = -2 \):
\[
x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{6} = \frac{1 \pm 5}{6}
\]
\[
x = 1 \quad \text{và} \quad x = -\frac{2}{3}
\]

2. **Tính diện tích \( S \)**:
Diện tích \( S \) được tính bằng tích phân:
\[
S = \int_{-2/3}^{1} \left( (x + 2) - (3x^2) \right) \, dx
\]
\[
S = \int_{-2/3}^{1} (x + 2 - 3x^2) \, dx
\]

3. **Tính tích phân**:
\[
\int (x + 2 - 3x^2) \, dx = \frac{x^2}{2} + 2x - x^3
\]
Tính giá trị tại các giới hạn:
\[
\left[ \frac{x^2}{2} + 2x - x^3 \right]_{-2/3}^{1}
\]
Tại \( x = 1 \):
\[
\frac{1^2}{2} + 2 \cdot 1 - 1^3 = \frac{1}{2} + 2 - 1 = \frac{3}{2}
\]
Tại \( x = -2/3 \):
\[
\frac{\left(-\frac{2}{3}\right)^2}{2} + 2 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) - \left(-\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{\frac{4}{9}}{2} - \frac{4}{3} + \frac{8}{27}
\]
\[
= \frac{2}{9} - \frac{12}{9} + \frac{8}{27} = \frac{6}{27} - \frac{36}{27} + \frac{8}{27} = \frac{-22}{27}
\]
Tổng hợp lại:
\[
S = \frac{3}{2} - \left( \frac{-22}{27} \right) = \frac{3}{2} + \frac{22}{27} = \frac{81}{54} + \frac{44}{54} = \frac{125}{54}
\]

Vậy diện tích \( S \) của hình phẳng là:
\[
\boxed{\frac{125}{54}}
\]