Để giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
\frac{15}{x} - \frac{7}{y} = 9 \\
\frac{4}{x} + \frac{9}{y} = 35
\end{cases}
\]

Chúng ta có thể sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số. Trong trường hợp này, ta sẽ sử dụng phương pháp cộng đại số.

Đầu tiên, đặt \( \frac{1}{x} = a \) và \( \frac{1}{y} = b \). Khi đó hệ phương trình trở thành:

\[
\begin{cases}
15a - 7b = 9 \\
4a + 9b = 35
\end{cases}
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ giải hệ phương trình này bằng phương pháp cộng đại số.

Nhân phương trình thứ nhất với 9 và phương trình thứ hai với 7 để loại bỏ \( b \):

\[
\begin{cases}
135a - 63b = 81 \\
28a + 63b = 245
\end{cases}
\]

Cộng hai phương trình lại với nhau:

\[
135a - 63b + 28a + 63b = 81 + 245
\]

\[
163a = 326
\]

\[
a = \frac{326}{163} = 2
\]

Thay \( a = 2 \) vào phương trình \( 15a - 7b = 9 \):

\[
15(2) - 7b = 9
\]

\[
30 - 7b = 9
\]

\[
-7b = 9 - 30
\]

\[
-7b = -21
\]

\[
b = \frac{-21}{-7} = 3
\]

Vậy \( a = 2 \) và \( b = 3 \). Nhớ rằng \( a = \frac{1}{x} \) và \( b = \frac{1}{y} \), ta có:

\[
\frac{1}{x} = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
\]

\[
\frac{1}{y} = 3 \Rightarrow y = \frac{1}{3}
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( x = \frac{1}{2} \) và \( y = \frac{1}{3} \).