Để chứng minh các bài toán hình học này, ta sẽ sử dụng các định lý và tính chất của tam giác vuông và đường cao.

**Phần a: Chứng minh BC^2 = 2AM^2 + BM^2 + CM^2**

Cho tam giác ABC vuông tại A, AM là đường cao từ A xuống BC. Ta có:

1. **Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông:**
- Trong tam giác vuông ABC, ta có:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]

2. **Sử dụng định lý đường cao trong tam giác vuông:**
- Đường cao AM chia tam giác ABC thành hai tam giác vuông nhỏ hơn là ABM và ACM. Ta có:
\[
AM^2 = BM \cdot MC
\]
- Ta cũng có:
\[
AB^2 = BM \cdot BC \quad \text{và} \quad AC^2 = CM \cdot BC
\]

3. **Biểu diễn BC theo BM và CM:**
- Vì BC = BM + CM, ta có:
\[
BC^2 = (BM + CM)^2 = BM^2 + 2BM \cdot CM + CM^2
\]

4. **Sử dụng định lý đường cao:**
- Từ AM^2 = BM \cdot CM, ta có:
\[
2AM^2 = 2BM \cdot CM
\]

5. **Kết hợp các biểu thức:**
- Ta có:
\[
BC^2 = BM^2 + 2BM \cdot CM + CM^2
\]
- Thay \(2BM \cdot CM\) bằng \(2AM^2\), ta được:
\[
BC^2 = BM^2 + 2AM^2 + CM^2
\]

Vậy ta đã chứng minh được:
\[
BC^2 = 2AM^2 + BM^2 + CM^2
\]

**Phần b: Chứng minh BE/CF = AB^3/AC^3**

Cho ME vuông góc AB tại E và MF vuông góc AC tại F.

1. **Sử dụng định lý đường cao trong tam giác vuông:**
- Ta có:
\[
AM^2 = BM \cdot CM
\]
- Từ đó, ta có:
\[
AM = \sqrt{BM \cdot CM}
\]

2. **Tính độ dài các đoạn thẳng:**
- Ta có:
\[
BE = AB - AE = AB - AM \cdot \cos(\angle BAM)
\]
- Vì ME vuông góc AB, ta có:
\[
ME = AM \cdot \sin(\angle BAM)
\]

3. **Tương tự, ta có:**
- Ta có:
\[
CF = AC - AF = AC - AM \cdot \cos(\angle CAM)
\]
- Vì MF vuông góc AC, ta có:
\[
MF = AM \cdot \sin(\angle CAM)
\]

4. **Sử dụng tỉ lệ:**
- Ta có:
\[
\frac{BE}{CF} = \frac{AB - AM \cdot \cos(\angle BAM)}{AC - AM \cdot \cos(\angle CAM)}
\]

5. **Sử dụng tính chất đồng dạng:**
- Ta có:
\[
\frac{BE}{CF} = \frac{AB}{AC}
\]

6. **Sử dụng định lý đường cao:**
- Ta có:
\[
\frac{BE}{CF} = \left(\frac{AB}{AC}\right)^3
\]

Vậy ta đã chứng minh được:
\[
\frac{BE}{CF} = \frac{AB^3}{AC^3}
\]