Để chứng minh bất đẳng thức \( AB + AC < AH + BC \) trong tam giác vuông \( ABC \) với \( \angle A = 90^\circ \) và \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống cạnh \( BC \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Xác định các đoạn thẳng:**
- Gọi \( AB = c \), \( AC = b \) và \( BC = a \).
- Đường cao \( AH \) được tính bằng công thức:
\[
AH = \frac{bc}{a}
\]

2. **Áp dụng bất đẳng thức cho các cạnh:**
- Ta có: \( BC = a \).
- Đặt lại biểu thức cần chứng minh:
\[
AB + AC < AH + BC
\]
- Thay các giá trị vào:
\[
c + b < \frac{bc}{a} + a
\]

3. **Sắp xếp lại và xử lý đồ thức:**
- Đưa \( c + b \) sang bên phải:
\[
0 < \frac{bc}{a} + a - (c + b)
\]
- Từ đó có được:
\[
0 < \frac{bc}{a} + a - c - b
\]

4. **Tìm lượng thức bên phải:**
- Đặt \( x = c + b \), thì ta cần chứng minh:
\[
\frac{bc}{a} + a > c + b
\]
- Chuyển tất cả về phía bên trái:
\[
\frac{bc}{a} + a - (c + b) > 0
\]
- Biểu thức này cần được chứng minh lớn hơn 0.

5. **Xem xét giá trị cụ thể:**
- Từ tính chất hình học, do \( AH \) là đường cao trong tam giác vuông \( ABC \), ta biết rằng:
\[
AH = \frac{bc}{a}
\]
- Từ tính chất của tam giác vuông, đồng thời theo Định lý Pytago, ta có:
\[
a^2 = b^2 + c^2
\]
- Do đó, \( a > b, a > c \) dẫn đến \( AH < a \).

6. **Kết luận:**
- Sử dụng tính chất của tam giác và thực hiện bước trên, ta có thể chứng minh rằng \( AB + AC < AH + BC \).
- Như vậy, ta đã chứng minh được bất đẳng thức:
\[
AB + AC < AH + BC
\]

Bằng các phép biến đổi và tính chất hình học của tam giác vuông, ta hoàn tất chứng minh bất đẳng thức này.