Để giải bài toán này, ta cần sử dụng các tính chất của tam giác và tỉ lệ diện tích.

1. **Xác định tỉ lệ đoạn thẳng:**
- Trên cạnh \( BC \), lấy điểm \( M \) sao cho \( BM = 2MC \). Điều này có nghĩa là \( M \) chia đoạn \( BC \) theo tỉ lệ \( 2:1 \).
- Điểm \( N \) là trung điểm của \( AB \), tức là \( AN = NB \).

2. **Tính diện tích tam giác \( AMC \):**
- Vì \( M \) chia \( BC \) theo tỉ lệ \( 2:1 \), nên diện tích tam giác \( AMC \) sẽ bằng 1/3 diện tích tam giác \( ABC \) (do chiều cao từ \( A \) xuống \( BC \) là như nhau, chỉ khác ở độ dài đáy).

3. **Tính diện tích tam giác \( ABC \):**
- Ta biết diện tích tam giác \( AMN \) là \( 5 \, \text{cm}^2 \).
- Do \( N \) là trung điểm của \( AB \), nên diện tích tam giác \( AMN \) bằng 1/2 diện tích tam giác \( AMB \).
- Gọi diện tích tam giác \( AMB \) là \( S_{AMB} \), ta có:
\[
S_{AMN} = \frac{1}{2} S_{AMB} = 5 \, \text{cm}^2 \implies S_{AMB} = 10 \, \text{cm}^2
\]

4. **Tính diện tích tam giác \( AMC \):**
- Diện tích tam giác \( AMC \) bằng 1/3 diện tích tam giác \( ABC \). Gọi diện tích tam giác \( ABC \) là \( S \), ta có:
\[
S_{AMC} = \frac{1}{3} S
\]

5. **Tính diện tích tam giác \( ABC \):**
- Diện tích tam giác \( ABC \) bằng diện tích tam giác \( AMB \) cộng với diện tích tam giác \( AMC \):
\[
S = S_{AMB} + S_{AMC}
\]
- Thay \( S_{AMB} = 10 \, \text{cm}^2 \) và \( S_{AMC} = \frac{1}{3} S \) vào phương trình trên:
\[
S = 10 + \frac{1}{3} S
\]
- Giải phương trình này:
\[
S - \frac{1}{3} S = 10
\]
\[
\frac{2}{3} S = 10
\]
\[
S = 15 \, \text{cm}^2
\]

6. **Kết luận:**
- Diện tích tam giác \( ABC \) là \( 15 \, \text{cm}^2 \).
- Diện tích tam giác \( AMC \) là:
\[
S_{AMC} = \frac{1}{3} \times 15 = 5 \, \text{cm}^2
\]

Vậy diện tích tam giác \( AMC \) là \( 5 \, \text{cm}^2 \) và diện tích tam giác \( ABC \) là \( 15 \, \text{cm}^2 \).