Để chứng minh biểu thức \(4x^2 - 4x + 3\) luôn dương với mọi \(x\), ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương.

Biểu thức \(4x^2 - 4x + 3\) có thể được viết lại như sau:

\[4x^2 - 4x + 3 = 4(x^2 - x) + 3\]

Bây giờ, ta hoàn thành bình phương cho \(x^2 - x\):

\[x^2 - x = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}\]

Thay vào biểu thức ban đầu:

\[4(x^2 - x) + 3 = 4\left(\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}\right) + 3\]
\[= 4\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - 1 + 3\]
\[= 4\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + 2\]

Vì \(\left(x - \frac{1}{2}\right)^2\) luôn không âm (luôn lớn hơn hoặc bằng 0) với mọi \(x\), nên \(4\left(x - \frac{1}{2}\right)^2\) cũng luôn không âm. Do đó, \(4\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + 2\) luôn lớn hơn hoặc bằng 2, tức là luôn dương với mọi \(x\).

Vậy, biểu thức \(4x^2 - 4x + 3\) luôn dương với mọi \(x\).