Để chứng minh rằng \(\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d}\) với điều kiện \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\) và \(b, d > 0\), ta có thể làm như sau:

1. **Giả thiết:**
\[
\frac{a}{b} < \frac{c}{d}
\]
Điều này có nghĩa là:
\[
ad < bc
\]

2. **Cần chứng minh:**
\[
\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d}
\]

3. **Phân tích:**
Ta sẽ so sánh \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{a+c}{b+d}\) bằng cách so sánh hai phân số này trực tiếp.

\[
\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} \iff a(b+d) < b(a+c)
\]

4. **Biến đổi:**
Ta sẽ biến đổi bất đẳng thức trên:

\[
a(b+d) < b(a+c)
\]

Triển khai các vế:

\[
ab + ad < ab + bc
\]

Rút gọn \(ab\) ở cả hai vế:

\[
ad < bc
\]

5. **Kết luận:**
Bất đẳng thức \(ad < bc\) chính là giả thiết ban đầu của chúng ta. Do đó, bất đẳng thức này đúng.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng:
\[
\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d}
\]
khi \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\) và \(b, d > 0\).