Để chứng minh các mệnh đề liên quan đến các số hữu tỉ \( \frac{a}{b} \) và \( \frac{c}{d} \) với \( b, d > 0 \), ta sẽ sử dụng các tính chất cơ bản của số hữu tỉ và phép so sánh.

### Mệnh đề 1: Nếu \( \frac{a}{b} > \frac{c}{d} \) thì \( ad > bc \)

Giả sử \( \frac{a}{b} > \frac{c}{d} \).

Điều này có nghĩa là:
\[ \frac{a}{b} - \frac{c}{d} > 0 \]

Ta đưa về mẫu số chung:
\[ \frac{ad - bc}{bd} > 0 \]

Vì \( b \) và \( d \) đều dương, nên \( bd > 0 \). Do đó, để phân số \( \frac{ad - bc}{bd} \) dương, tử số của nó phải dương:
\[ ad - bc > 0 \]

Tức là:
\[ ad > bc \]

### Mệnh đề 2: Nếu \( ad > bc \) thì \( \frac{a}{b} > \frac{c}{d} \)

Giả sử \( ad > bc \).

Điều này có nghĩa là:
\[ ad - bc > 0 \]

Ta chia cả hai vế của bất đẳng thức cho \( bd \) (lưu ý rằng \( b \) và \( d \) đều dương nên \( bd > 0 \)):
\[ \frac{ad - bc}{bd} > 0 \]

Tức là:
\[ \frac{a}{b} - \frac{c}{d} > 0 \]

Do đó:
\[ \frac{a}{b} > \frac{c}{d} \]

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh được cả hai mệnh đề:

1. Nếu \( \frac{a}{b} > \frac{c}{d} \) thì \( ad > bc \).
2. Nếu \( ad > bc \) thì \( \frac{a}{b} > \frac{c}{d} \).

Điều này cho thấy rằng hai mệnh đề này là tương đương.