Để tìm \( n \) thuộc \( \mathbb{Z} \) sao cho biểu thức \( \frac{6n + 10}{2n + 3} \) đạt giá trị nguyên, ta cần phân tích điều kiện để biểu thức này là một số nguyên.

Giả sử \( \frac{6n + 10}{2n + 3} = k \) với \( k \) là một số nguyên. Khi đó, ta có:

\[ 6n + 10 = k(2n + 3) \]

Giải phương trình này:

\[ 6n + 10 = 2kn + 3k \]

Chuyển các hạng tử chứa \( n \) về một vế:

\[ 6n - 2kn = 3k - 10 \]

Rút gọn:

\[ n(6 - 2k) = 3k - 10 \]

Do đó:

\[ n = \frac{3k - 10}{6 - 2k} \]

Để \( n \) là một số nguyên, thì \( \frac{3k - 10}{6 - 2k} \) phải là một số nguyên. Điều này có nghĩa là \( 3k - 10 \) phải chia hết cho \( 6 - 2k \).

Xét các giá trị của \( k \) sao cho \( 6 - 2k \) chia hết \( 3k - 10 \):

1. \( k = 1 \):
\[ n = \frac{3(1) - 10}{6 - 2(1)} = \frac{3 - 10}{6 - 2} = \frac{-7}{4} \]
\( n \) không phải là số nguyên.

2. \( k = 2 \):
\[ n = \frac{3(2) - 10}{6 - 2(2)} = \frac{6 - 10}{6 - 4} = \frac{-4}{2} = -2 \]
\( n = -2 \) là một số nguyên.

3. \( k = 3 \):
\[ n = \frac{3(3) - 10}{6 - 2(3)} = \frac{9 - 10}{6 - 6} \]
Mẫu số bằng 0, không xác định.

4. \( k = 4 \):
\[ n = \frac{3(4) - 10}{6 - 2(4)} = \frac{12 - 10}{6 - 8} = \frac{2}{-2} = -1 \]
\( n = -1 \) là một số nguyên.

5. \( k = 5 \):
\[ n = \frac{3(5) - 10}{6 - 2(5)} = \frac{15 - 10}{6 - 10} = \frac{5}{-4} \]
\( n \) không phải là số nguyên.

Từ các giá trị trên, ta thấy rằng \( n = -2 \) và \( n = -1 \) là các giá trị nguyên thỏa mãn điều kiện.

Vậy, các giá trị của \( n \) thuộc \( \mathbb{Z} \) sao cho \( \frac{6n + 10}{2n + 3} \) đạt giá trị nguyên là \( n = -2 \) và \( n = -1 \).