Cho số hữu tỉ a/b với b > 0. Chứng minh rằng: Nếu a/b > 1 thì ab + 1/b + 1 > a/b

Để chứng minh bất đẳng thức \( \frac{a}{b} > 1 \Rightarrow \frac{ab + 1}{b + 1} > \frac{a}{b} \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Giả sử \( \frac{a}{b} > 1 \). Điều này có nghĩa là \( a > b \) (vì \( b > 0 \)).

2. Xét bất đẳng thức cần chứng minh: \( \frac{ab + 1}{b + 1} > \frac{a}{b} \).

3. Để chứng minh bất đẳng thức này, ta sẽ so sánh hai phân số bằng cách đưa chúng về cùng mẫu số:
\[
\frac{ab + 1}{b + 1} > \frac{a}{b} \Leftrightarrow (ab + 1) \cdot b > a \cdot (b + 1)
\]

4. Triển khai và đơn giản hóa biểu thức:
\[
(ab + 1) \cdot b > a \cdot (b + 1)
\]
\[
ab^2 + b > ab + a
\]

5. Chuyển tất cả các hạng tử về một vế:
\[
ab^2 + b - ab - a > 0
\]
\[
ab^2 - ab + b - a > 0
\]
\[
ab(b - 1) + (b - a) > 0
\]

6. Nhớ rằng \( a > b \), ta có thể viết lại bất đẳng thức trên:
\[
ab(b - 1) + (b - a) = b(a(b - 1) - 1) > 0
\]

7. Xét \( b(a(b - 1) - 1) \):
- \( a > b \) nên \( a(b - 1) > b(b - 1) \) vì \( b > 1 \).
- Do đó, \( a(b - 1) > b(b - 1) \Rightarrow a(b - 1) - 1 > b(b - 1) - 1 \).

8. Vì \( b > 1 \), \( b(b - 1) - 1 \) là một số dương. Do đó, \( a(b - 1) - 1 \) cũng là một số dương.

9. Kết luận:
\[
b(a(b - 1) - 1) > 0
\]

Do đó, bất đẳng thức \( \frac{ab + 1}{b + 1} > \frac{a}{b} \) được chứng minh.