Tìm m, n ∈ Z biết m. n + 3m - n = 6

a) Để tìm \( m \) và \( n \) thuộc tập hợp số nguyên \( \mathbb{Z} \) sao cho \( m \cdot n + 3m - n = 6 \), ta có thể biến đổi phương trình như sau:

\[ m \cdot n + 3m - n = 6 \]

\[ m \cdot n - n + 3m = 6 \]

\[ n(m - 1) + 3m = 6 \]

\[ n(m - 1) = 6 - 3m \]

\[ n = \frac{6 - 3m}{m - 1} \]

Để \( n \) là số nguyên, thì \( \frac{6 - 3m}{m - 1} \) phải là số nguyên. Ta thử các giá trị của \( m \) để tìm \( n \):

- Với \( m = 2 \):

\[ n = \frac{6 - 3 \cdot 2}{2 - 1} = \frac{6 - 6}{1} = 0 \]

Vậy \( (m, n) = (2, 0) \) là một cặp nghiệm.

- Với \( m = 3 \):

\[ n = \frac{6 - 3 \cdot 3}{3 - 1} = \frac{6 - 9}{2} = \frac{-3}{2} \]

\( n \) không phải là số nguyên.

- Với \( m = 0 \):

\[ n = \frac{6 - 3 \cdot 0}{0 - 1} = \frac{6}{-1} = -6 \]

Vậy \( (m, n) = (0, -6) \) là một cặp nghiệm.

- Với \( m = -1 \):

\[ n = \frac{6 - 3 \cdot (-1)}{-1 - 1} = \frac{6 + 3}{-2} = \frac{9}{-2} = -\frac{9}{2} \]

\( n \) không phải là số nguyên.

- Với \( m = -2 \):

\[ n = \frac{6 - 3 \cdot (-2)}{-2 - 1} = \frac{6 + 6}{-3} = \frac{12}{-3} = -4 \]

Vậy \( (m, n) = (-2, -4) \) là một cặp nghiệm.

Vậy các cặp nghiệm \( (m, n) \) thuộc \( \mathbb{Z} \) thỏa mãn phương trình là \( (2, 0) \), \( (0, -6) \), và \( (-2, -4) \).

b) Một mảnh đất hình tam giác có độ dài 3 cạnh lần lượt là 3m, 4m, 6m. Đường cao tương ứng là \( h_1, h_2, h_3 \). Tính diện tích mảnh đất biết \( h_1 + h_2 + h_3 = 25 \) (m).

Để tính diện tích tam giác, ta có thể sử dụng công thức Heron:

\[ S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} \]

Trong đó \( p \) là nửa chu vi tam giác:

\[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{3 + 4 + 6}{2} = 6.5 \]

Áp dụng công thức Heron:

\[ S = \sqrt{6.5(6.5 - 3)(6.5 - 4)(6.5 - 6)} \]

\[ S = \sqrt{6.5 \cdot 3.5 \cdot 2.5 \cdot 0.5} \]

\[ S = \sqrt{6.5 \cdot 3.5 \cdot 1.25} \]

\[ S = \sqrt{28.4375} \]

\[ S \approx 5.33 \, \text{m}^2 \]

Vậy diện tích mảnh đất hình tam giác là khoảng 5.33 m².