Để giải hệ phương trình này, ta sẽ giải từng phương trình một và sau đó tìm nghiệm chung của hệ.

Hệ phương trình:
\[ \begin{cases}
2(x - 2) + 3(1 + y) = -2 \\
3(x - 2) - 2(1 + y) = -3
\end{cases} \]

Bước 1: Giải phương trình đầu tiên:
\[ 2(x - 2) + 3(1 + y) = -2 \]
Mở ngoặc:
\[ 2x - 4 + 3 + 3y = -2 \]
Kết hợp các hạng tử giống nhau:
\[ 2x + 3y - 1 = -2 \]
Chuyển hạng tử tự do sang vế phải:
\[ 2x + 3y = -1 \]
(1)

Bước 2: Giải phương trình thứ hai:
\[ 3(x - 2) - 2(1 + y) = -3 \]
Mở ngoặc:
\[ 3x - 6 - 2 - 2y = -3 \]
Kết hợp các hạng tử giống nhau:
\[ 3x - 2y - 8 = -3 \]
Chuyển hạng tử tự do sang vế phải:
\[ 3x - 2y = 5 \]
(2)

Bước 3: Giải hệ phương trình mới:
\[ \begin{cases}
2x + 3y = -1 \\
3x - 2y = 5
\end{cases} \]

Nhân phương trình (1) với 3 và phương trình (2) với 2 để có hệ số của \(x\) giống nhau:
\[ \begin{cases}
6x + 9y = -3 \\
6x - 4y = 10
\end{cases} \]

Trừ phương trình thứ hai khỏi phương trình đầu tiên:
\[ (6x + 9y) - (6x - 4y) = -3 - 10 \]
\[ 6x + 9y - 6x + 4y = -13 \]
\[ 13y = -13 \]
\[ y = -1 \]

Bước 4: Thay \(y = -1\) vào phương trình (1):
\[ 2x + 3(-1) = -1 \]
\[ 2x - 3 = -1 \]
\[ 2x = 2 \]
\[ x = 1 \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
\[ x = 1, y = -1 \]