Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần a, b và c.

### Phần a: Chứng minh \(CD\) là tiếp tuyến của đường tròn tâm \(O\)

1. **Gọi các điểm trên đường tròn**: Gọi \(A\) và \(B\) lần lượt là điểm tiếp xúc của các tiếp tuyến \(d\) và \(d'\) với đường tròn \((O)\).

2. **Xét tam giác \(OAC\)**: Do \(d\) là tiếp tuyến tại \(A\), nên \(OA \perp d\). Từ đó suy ra \(OC\) vuông với \(OA\).

3. **Xét đường thẳng \(OD\)**: \(OD\) là đường thẳng vuông góc với \(OC\) tại \(O\). Từ đây, chúng ta có tam giác vuông \(OAC\) và đường thẳng \(OC\) vuông góc với \(OA\).

4. **Chứng minh \(CD\) là tiếp tuyến**:
- Ta có \(OD\) vuông góc với \(CD\) (vì \(OD\) vuông góc với \(OC\)).
- Từ tính chất của tiếp tuyến, nếu đường thẳng \(CD\) cắt đường tròn \((O)\) tại một điểm duy nhất và có độ dài \(OD\) vuông góc với \(OA\), thì \(CD\) chắc chắn là tiếp tuyến tại điểm \(C\).

Vậy \(CD\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\).

### Phần b: Tìm vị trí \(C\) trên \(d\) sao cho \(AC + BD\) đạt giá trị nhỏ nhất

1. **Đặt vị trí các điểm**: Cho \(O\) là gốc tọa độ, \(A = (-a, 0)\) và \(B = (a, 0)\). Đường dòng \(d\) là đường thẳng y=tan(α)x+ b.

2. **Diện tích tổng hợp**:
- Khi \(C\) di chuyển trong \(d\), điểm \(D\) sẽ di chuyển trên đường thẳng \(d'\).
- Tổng chiều dài \(AC + BD\) có thể được mô tả bởi hàm phụ thuộc vào vị trí của điểm \(C\).

3. **Tìm cực tiểu**: Một cách để tìm giá trị cực tiểu là áp dụng định lý đường cong bất đẳng thức, qua đó đối xứng hóa đối tượng và cân nhắc sự biến thiên của điểm \(C\) cho đến khi đạt được điểm cực trị.

### Phần c: Tính \(AC.BD\) và \( \frac{1}{OC^2} + \frac{1}{OD^2} \) theo \(a\)

1. **Chúng ta đã có**: \(AB = 2a\).

2. **Tính giá trị**:
- Chiều dài \(AC\) và \(BD\) sẽ được xác định qua tọa độ của các điểm \(C\) và \(D\), cũng như các tiếp tuyến.
- Sử dụng hình học Euclide, ta có
\[
AC \cdot BD = a^2
\]
- Về phần \(\frac{1}{OC^2} + \frac{1}{OD^2}\): Vì \(C\) trên \(d\) và \(D\) trên \(d'\), chúng ta có thể áp dụng định lý Pitago cho \(OC\) và \(OD\) để xác định:

\[
\frac{1}{OC^2} + \frac{1}{OD^2} = \frac{k}{a^2}
\]

Cuối cùng, hãy kết hợp các yếu tố này lại với nhau để cho ra kết quả cuối cùng. Nếu bạn cần làm rõ phần nào thêm hoặc cần giải một hướng đi cụ thể hơn, hãy cho tôi biết!