Chúng ta sẽ giải cả hai phần của Bài 5:

### a) Chứng minh rằng \( \triangle OAB \) là tam giác đều

Cho đường tròn (O; 3cm). Điểm A thuộc đường tròn, tức là OA = 3cm.

Đường thẳng \( d \) vuông góc với OA tại trung điểm của đoạn OA là một đường vuông góc với bán kính, nên \( d \) là trục trực giao của đoạn OA, và cắt đường tròn tại các điểm B và C.

Do đường thẳng \( d \) vuông góc tại trung điểm M của đoạn OA, điều đó có nghĩa là MB = MC (vì từ trung điểm kẻ vuông góc ra cạnh ta nhận được hai đoạn bằng nhau). Mặt khác, do B và C đều nằm trên đường tròn (O), suy ra:

\[ OB = OC = R = 3cm \]

Bây giờ, xét tam giác \( OAB \):

- \( OB = 3cm \)
- \( OA = 3cm \)
- \( AB = OB \) (vì O là trung điểm của AB).

Do đó, tam giác \( OAB \) có ba cạnh bằng nhau và do đó là một tam giác đều.

### b) Tính độ dài đoạn BC

Do \( \triangle OAB \) là tam giác đều, vậy góc \( \angle BOC \) là góc đã tạo ra 120 độ (mỗi góc trong tam giác đều là 60 độ và OA chia đôi góc này). Bây giờ chúng ta cần tính độ dài của BC dựa vào kiến thức về hình học.

Xét tam giác vuông \( OMB \):

- MB là trung điểm nên \( MB = 1.5 cm \)

Vậy ta có;
\[ OB^2 = OM^2 + MB^2 \]
\[ OB^2 = 3^2 = 2.25 + MB^2 = 9 - 2.25 = 6.75 \]
\[ MB = 3.354] cm.

Như vậy ta có độ dài đoạn BC là:
\[ BC = BM *2 = 3.354 *2= 6.708 cm .