Rất vui khi được giúp bạn với các bài toán hình học trên! Dưới đây là lời giải chi tiết cho cả hai bài toán:

### Bài toán 1:
Cho hình thang ABCD (AB // CD) có ∠A = 3∠D, ∠B = ∠C. Chứng minh BC vuông góc với CD.

**Lời giải:**
1. Do AB // CD nên hình thang ABCD có: ∠A + ∠D = 180° (Hai góc trong cùng phía).
2. Gọi ∠D = x, khi đó ta có:
\[ ∠A = 3x \]
Do đó, phương trình trở thành:
\[ 3x + x = 180° \]
\[ 4x = 180° \]
\[ x = 45° \]
Vậy ∠D = 45° và ∠A = 135°.

3. Ta đã có ∠B = ∠C (do giả thiết).

4. Trong tam giác BCD, vì ABCD là hình thang nên tổng các góc của tam giác là 180°, do đó ta có:
\[ ∠B + ∠C + ∠D = 180° \]
Do đó, khi ∠B = ∠C, ta có:
\[ 2∠B + 45° = 180° \]
\[ 2∠B = 135° \]
\[ ∠B = 67.5° \]

5. Trong tam giác DBC, vì ∠D = 45° và ∠B = 67.5°, bằng cách dùng định lý tổng ba góc trong tam giác cho:
\[ ∠C = 180° - ∠B - ∠D = 180° - 67.5° - 45° = 67.5° \]
Do đó:
\[ ∠C = ∠B = 67.5° = 90° - 22.5° \]
Vậy góc còn lại sẽ là:
\[ ∠BDC = 22.5° \]
6. Tổng lại ta có tam giác BCD có các góc vuông ∠BCD và ∠BDC.

### Bài toán 2:
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có đáy nhỏ AB bằng cạnh bên BC. Chứng minh CA là tia phân giác của ∠BCD.

**Lời giải:**
1. Gọi AC cắt CD tại E. Khi đó, chúng ta cần chứng minh ∠BCA = ∠DCA.

2. Do AB // CD (AB là đáy nhỏ, CD là đáy lớn), hình thang ABCD là hình thang cân vì cạnh bên BC = AD.

3. Xét hai tam giác ABC và ADC:
- Trên AB // CD, góc ∠ABC và ∠ADC đồng vị nhau (do giả thiết hình thang cân).
- BC = AD (do giả thiết).

4. Do đó, tam giác ABC và tam giác ADC là hai tam giác cân có cặp đầy đủ các cặp góc tương ứng bằng nhau:
- ∠ABC = ∠ADC.

5. Vì AB // CD, ta có:
- ∠BCA = ∠DCA.

6. Vì AB = BC (giả thiết AB bằng cạnh bên BC), điều này chứng tỏ rằng tam giác ABC là tam giác cân và:
- ∠BCA = ∠ACD.

7. Một hệ quả của điều này là đường thẳng nối đỉnh đối diện chia hai cạnh bằng nhau trong hình thang cân sẽ là phân giác của góc mà nó tạo ra, do đó:

\[ \boxed{\text{CA là tia phân giác của góc } \angle BCD.} \]

Hy vọng bạn thấy lời giải rõ ràng và dễ hiểu! Nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào khác, đừng ngần ngại hỏi nhé!