Để chứng minh hai điều cần chứng minh là \(\angle FEH = \angle DEH\) và \(DM = DN\), chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của các đường cao, các góc và hình học phẳng.

### Chứng minh \(\angle FEH = \angle DEH\)

1. **Gọi H là điểm giao nhau của các đường cao:**
Theo định nghĩa, H là giao điểm của các đường cao \(AD\), \(BE\), và \(CF\). Với \(AD\) là đường cao từ \(A\) xuống cạnh \(BC\), ta có:
\[
\angle ABH = \angle AHC = 90^\circ.
\]

2. **Vẽ đường thẳng EF song song với AD:**
Đường thẳng \(EF\) được vẽ qua điểm \(D\) và song song với \(AD\). Do tính chất của hai đường thẳng song song cắt nhau bởi đường thẳng cắt, ta có:
\[
\angle FEH = \angle DEH.
\]
(Theo định lý về các góc đồng vị khi hai đường thẳng song song bị cắt bởi một đường thẳng).

### Chứng minh \(DM = DN\)

1. **Xét tam giác DMH và TNH:**
Với điểm \(M\) nằm trên \(AB\) và điểm \(N\) nằm trên \(CF\), chúng ta thấy rằng:
- Các đoạn thẳng \(DE\) và \(EF\) đều song song với \(AD\).
- Ta đã chứng minh rằng \(FEH = DEH\).

2. **Sử dụng định lý liên hệ giữa đoạn phân giác và cạnh cạnh:**
Trong tam giác \(DHM\) và \(DHN\), ta có:
- Do \(EF\) song song với \(AD\), \(DE\) song song với \(EF\), và \(M\), \(N\) là các điểm trên hai cạnh \(AB\) và \(CF\) tương ứng.
- Từ đó suy ra rằng \(DM\) và \(DN\) tạo thành hai đoạn thẳng tương ứng với các góc \(\angle DMH\) và \(\angle DNH\).

3. **Kết luận:**
Do các đường này tạo thành hai tam giác có đỉnh H chung và hai góc tương ứng tại H bằng nhau, từ đó theo định lý tam giác có ba cạnh tương ứng bằng nhau và góc giữa chúng, ta có:
\[
DM = DN.
\]

Vậy ta đã chứng minh được rằng \(\angle FEH = \angle DEH\) và \(DM = DN\).