Để tìm điều kiện cho \( x \in \mathbb{N} \) trong mỗi bài toán, ta thực hiện như sau:

1. **A = 4 + 6 + x chia hết cho 2**:
- \( 10 + x \equiv 0 \mod 2 \)
- Điều này luôn đúng vì \( 10 \) là chẵn, nên \( x \) cũng cần phải là chẵn.

2. **C = 3 + 6 + x chia hết cho 3**:
- \( 9 + x \equiv 0 \mod 3 \)
- Điều này cũng luôn đúng vì \( 9 \equiv 0 \mod 3 \), nên \( x \) có thể là bất kỳ số tự nhiên.

3. **G = 4 + 8 + x chia hết cho 4**:
- \( 12 + x \equiv 0 \mod 4 \)
- Tương tự, \( 12 \equiv 0 \mod 4 \), nên \( x \) cũng có thể là bất kỳ số tự nhiên.

4. **D = 5 + 10 + x chia hết cho 5**:
- \( 15 + x \equiv 0 \mod 5 \)
- \( 15 \equiv 0 \mod 5 \), vậy \( x \) có thể là bất kỳ số tự nhiên.

5. **B = 4 + 6 + x không chia hết cho 2**:
- \( 10 + x \equiv 1 \mod 2 \)
- Điều này có nghĩa là \( x \) là lẻ.

6. **K = 3 + 6 + x không chia hết cho 3**:
- \( 9 + x \equiv 1 \mod 3 \)
- Điều này có nghĩa là \( x \equiv 1 \mod 3 \), tức là \( x \) có dạng \( 3k + 1 \) với \( k \in \mathbb{N} \).

7. **H = 4 + 8 + x không chia hết cho 4**:
- \( 12 + x \equiv 1, 2, 3 \mod 4 \)
- Tức là \( x \equiv 1, 2, 3 \mod 4 \).

8. **E = 5 + 10 + x không chia hết cho 5**:
- \( 15 + x \equiv 1, 2, 3, 4 \mod 5 \)
- Tức là \( x \equiv 1, 2, 3, 4 \mod 5 \).

Tóm lại:
- \( A \): \( x \) chẵn.
- \( C \): \( x \) bất kỳ.
- \( G \): \( x \) bất kỳ.
- \( D \): \( x \) bất kỳ.
- \( B \): \( x \) lẻ.
- \( K \): \( x \equiv 1 \mod 3 \).
- \( H \): \( x \equiv 1, 2, 3 \mod 4 \).
- \( E \): \( x \equiv 1, 2, 3, 4 \mod 5 \).