Để tìm điều kiện của số \( x \) thuộc \( \mathbb{N} \) sao cho các trường hợp trong bài toán đều thỏa mãn, ta xem xét từng trường hợp một:

### 1) \( A = 12 + 14 + 16 + x \) chia hết cho 2; không chia hết cho 2.
- Tính tổng: \( 12 + 14 + 16 = 42 \)
- \( A = 42 + x \)
- Điều kiện: \( A \) chia hết cho 2.
- \( 42 + x \equiv 0 \mod 2 \) → \( x \equiv 0 \mod 2 \) (x là số chẵn)
- Không chia hết cho 2: điều này mâu thuẫn vì \( A \) không thể vừa chia hết và không chia hết cho 2.

### 2) \( A = 8 + 12 + x \) chia hết cho 4; không chia hết cho 4.
- Tính tổng: \( 8 + 12 = 20 \)
- \( A = 20 + x \)
- Điều kiện: \( A \equiv 0 \mod 4 \) → \( 20 + x \equiv 0 \mod 4 \) → \( x \equiv 0 \mod 4 \)
- Không chia hết cho 4: \( x \equiv 2 \mod 4 \).

### 3) \( A = 6 + 12 + 27 + x \) chia hết cho 3; không chia hết cho 3.
- Tính tổng: \( 6 + 12 + 27 = 45 \)
- \( A = 45 + x \)
- Điều kiện: \( A \equiv 0 \mod 3 \) → \( 45 + x \equiv 0 \mod 3 \) → \( x \equiv 0 \mod 3 \)
- Không chia hết cho 3: điều này mâu thuẫn vì \( A \) không thể vừa chia hết và không chia hết cho 3.

### 4) \( A = 5 + 70 + x \) chia hết cho 5; không chia hết cho 5.
- Tính tổng: \( 5 + 70 = 75 \)
- \( A = 75 + x \)
- Điều kiện: \( A \equiv 0 \mod 5 \) → \( 75 + x \equiv 0 \mod 5 \) → \( x \equiv 0 \mod 5 \)
- Không chia hết cho 5: điều này mâu thuẫn vì \( A \) không thể vừa chia hết và không chia hết cho 5.

### 5) \( A = 10 + 15 + 20 + x \) chia hết cho 10; không chia hết cho 10.
- Tính tổng: \( 10 + 15 + 20 = 45 \)
- \( A = 45 + x \)
- Điều kiện: \( A \equiv 0 \mod 10 \) → \( 45 + x \equiv 0 \mod 10 \) → \( x \equiv 5 \mod 10 \)
- Không chia hết cho 10: điều này mâu thuẫn vì \( A \) không thể vừa chia hết và không chia hết cho 10.

### Kết luận:
Trong tất cả các trường hợp, điều kiện "không chia hết cho" có mâu thuẫn với điều kiện "chia hết cho". Vậy không có giá trị nào của \( x \) thỏa mãn toàn bộ các điều kiện đã cho.