Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [1,2] bằng 3

Để tìm giá trị \( m \) sao cho giá trị nhỏ nhất (GNN) của hàm số \( y = \frac{x^2 + mx + m}{x + 1} \) trên khoảng \([1, 2]\) bằng 3, ta thực hiện các bước như sau:

1. **Tính giá trị của hàm số tại các đầu mút**:
- Tại \( x = 1 \):
\[
y(1) = \frac{1^2 + m(1) + m}{1 + 1} = \frac{1 + 2m}{2}
\]
- Tại \( x = 2 \):
\[
y(2) = \frac{2^2 + m(2) + m}{2 + 1} = \frac{4 + 3m}{3}
\]

2. **Tìm điểm cực trị**:
Để tìm điểm cực trị, ta tính đạo hàm của hàm số và tìm \( x \) trong khoảng \((1, 2)\) sao cho đạo hàm bằng 0. Đạo hàm sẽ được tính như sau với quy tắc chia:
\[
y' = \frac{(2x + m)(x + 1) - (x^2 + mx + m)(1)}{(x + 1)^2}
\]

Đặt tử số bằng 0 và giải phương trình để tìm các chất tự \( x \).

3. **Giải phương trình GNN**:
- Sau khi tìm được giá trị của hàm số tại các điểm quan trọng (các đầu mút và điểm cực trị), ta sẽ so sánh.
- Đặt GNN cần tìm bằng 3:
- Nếu \( y(1) = 3 \):
\[
\frac{1 + 2m}{2} = 3 \implies 1 + 2m = 6 \implies m = \frac{5}{2}
\]
- Nếu \( y(2) = 3 \):
\[
\frac{4 + 3m}{3} = 3 \implies 4 + 3m = 9 \implies m = \frac{5}{3}
\]

4. **Xác định giá trị nhỏ nhất**:
So sánh các giá trị \( m \) tìm được để xác định giá trị m sao cho GNN của hàm bằng 3.

Từ các bước trên, bạn sẽ tìm được giá trị của \( m \) tương ứng.