Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức trong động lực học và năng lượng.

### Giả thiết:
- Khối lượng vật \( m \) (không cần biết chính xác vì nó sẽ tự mất trong các tính toán).
- Vận tốc ban đầu \( v_0 = 10 \, \text{m/s} \).
- Độ cao ban đầu \( h_0 = 10 \, \text{m} \).
- Gia tốc trọng trường \( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \).

### a) Tìm độ cao cực đại mà vật đạt được so với mặt đất.

Khi vật đạt đến độ cao cực đại, vận tốc của vật bằng 0. Sử dụng định luật bảo toàn năng lượng:

\[
\text{Động năng đầu} + \text{Thế năng đầu} = \text{Thế năng cực đại}
\]

Động năng đầu:

\[
E_k = \frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} m (10)^2 = 50m
\]

Thế năng đầu:

\[
E_p = mgh_0 = mg \cdot 10 = 10mg
\]

Thế năng cực đại (tại độ cao cực đại \( h_m \)):

\[
E_p = mgh_m
\]

Bảo toàn năng lượng:

\[
50m + 10mg = mgh_m
\]

Chia cả hai vế cho \( m \):

\[
50 + 10g = gh_m
\]

Giải phương trình trên để tìm \( h_m \):

\[
h_m = \frac{50 + 10g}{g} = 50 / 9.81 + 10 \approx 51.1 \, \text{m}
\]

### b) Ở độ cao nào thì động năng bằng 3 lần thế năng.

Gọi độ cao cần tìm là \( h \).

\[
\text{Động năng} = \frac{1}{2} m v^2
\]
\[
\text{Thế năng} = mgh
\]
Động năng bằng 3 lần thế năng:

\[
\frac{1}{2} m v^2 = 3mgh
\]

Chúng ta biết rằng tại độ cao \( h \):

\[
v^2 = v_0^2 - 2g(h - h_0)
\]

Thay vào phương trình trên:

\[
\frac{1}{2} m (v_0^2 - 2g(h - h_0)) = 3mgh
\]

Chia cả hai vế cho \( m \):

\[
\frac{1}{2} (100 - 20g(h - 10)) = 3gh
\]

Giải phương trình này:

\[
\frac{100}{2} - 10g(h - 10) = 3gh
\]
\[
50 - 10gh + 100g = 3gh
\]
\[
50 + 100g = 13gh
\]
\[
h = \frac{50 + 100g}{13g}
\]

Thay \( g = 9.81 \):

\[
h \approx \frac{50 + 100 \cdot 9.81}{13 \cdot 9.81} \approx \frac{50 + 981}{127.53} \approx 8.05 \, \text{m}
\]

### c) Xác định vận tốc của vật khi động năng bằng thế năng.

Thông qua định luật bảo toàn năng lượng:

\[
\frac{1}{2} m v^2 = mgh
\]

Chia hai vế cho \( m \):

\[
\frac{1}{2} v^2 = gh
\]

Từ đó suy ra:

\[
v^2 = 2gh
\]

Khi động năng bằng thế năng thì:

\[
h = \frac{v^2}{2g} \Rightarrow v^2 = 2gh \Rightarrow v = \sqrt{2gh}
\]

Thay \( g = 9.81 \) vào công thức:

\[
v = \sqrt{2g \cdot h}
\]

Xem xét độ cao \( h \) là 8.05 m (đã tính từ câu b):

\[
v = \sqrt{2 \cdot 9.81 \cdot 8.05} \approx \sqrt{158.89} \approx 12.59 \, \text{m/s}
\]

### Tổng kết
- a) Độ cao cực đại khoảng \( 51.1 \, \text{m} \).
- b) Độ cao khi động năng bằng 3 lần thế năng là khoảng \( 8.05 \, \text{m} \).
- c) Vận tốc khi động năng bằng thế năng là khoảng \( 12.59 \, \text{m/s} \).