Để giải phương trình:

\[
\frac{x-5}{x+3} - 1 = \frac{5x-2}{9 - x^2}
\]

Trước tiên, ta có thể đưa mọi hạng tử về cùng một phía, ta nhận được:

\[
\frac{x-5}{x+3} - 1 - \frac{5x-2}{9 - x^2} = 0
\]

Rút gọn hạng tử bên trái:

\[
\frac{x-5}{x+3} - \frac{x+3}{x+3} = \frac{x-5 - (x+3)}{x+3} = \frac{-8}{x+3}
\]

Do đó phương trình trở thành:

\[
\frac{-8}{x+3} = \frac{5x-2}{9 - x^2}
\]

Tiến hành nhân chéo:

\[
-8(9-x^2) = (5x-2)(x+3)
\]

Rút về một biểu thức:

\[
-72 + 8x^2 = 5x^2 + 15x - 2x - 6
\]

Sắp xếp lại và rút gọn tất cả các hạng tử bên phải:

\[
-72 + 8x^2 = 5x^2 + 13x - 6
\]
\[
8x^2 - 5x^2 - 13x + 6 - 72 = 0
\]
\[
3x^2 - 13x - 66 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Trong trường hợp này, \( a = 3, b = -13, c = -66 \):

1. Tính \(\Delta\):

\[
\Delta = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-66) = 169 + 792 = 961
\]

2. Tính nghiệm:

\[
x = \frac{13 \pm \sqrt{961}}{2 \cdot 3} = \frac{13 \pm 31}{6}
\]

Tính nghiệm cụ thể:

1. Nghiệm thứ nhất:

\[
x_1 = \frac{44}{6} = \frac{22}{3}
\]

2. Nghiệm thứ hai:

\[
x_2 = \frac{-18}{6} = -3
\]

Cuối cùng, kiểm tra ràng buộc:

Ta cần kiểm tra xem x có vượt ra ngoài điều kiện xác định ban đầu hay không. Trong trường hợp này, không thể sử dụng \( x = -3 \), vì nó làm mẫu xuất hiện 0 trong biểu thức.

Vậy nghiệm của phương trình là:

\[
x = \frac{22}{3}
\]