Để tính diện tích tam giác BDC trong tam giác vuông ABC với các thông tin đã cho, hãy thực hiện các bước sau đây:

1. **Tính cạnh AC và BC:**
- Vì tam giác ABC vuông tại A và góc C = 40°, ta có:
\[
\tan(C) = \frac{AB}{AC} \implies AC = \frac{AB}{\tan(C)} = \frac{40}{\tan(40°)}.
\]
- Tính tan(40°):
\[
\tan(40°) \approx 0.8391 \implies AC \approx \frac{40}{0.8391} \approx 47.7 \text{ cm}.
\]
- Sử dụng định lý Pythagoras để tính BC:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{40^2 + (47.7)^2} \approx \sqrt{1600 + 2276.29} \approx \sqrt{3876.29} \approx 62.23 \text{ cm}.
\]

2. **Xác định điểm D:**
- D là điểm trên AC, nơi BD là phân giác của góc ABC. Theo định lý phân giác, ta có:
\[
\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} = \frac{40}{62.23}.
\]
- Gọi AD = 40k và DC = 62.23k, với k là một hệ số tỉ lệ:
\[
AD + DC = AC \implies 40k + 62.23k = 47.7 \implies 102.23k = 47.7 \implies k \approx 0.466.
\]
- Tính AD và DC:
\[
AD \approx 40 \times 0.466 \approx 18.64 \text{ cm}, \quad DC \approx 62.23 \times 0.466 \approx 29.06 \text{ cm}.
\]

3. **Tính diện tích tam giác BDC:**
- Diện tích của tam giác BDC có thể tính bằng công thức:
\[
S_{BDC} = \frac{1}{2} \times BD \times DC \times \sin(\angle BDC).
\]
- Áp dụng định lý Sin để tìm BD (cạnh BDC):
\[
BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(BAC),
\]
- Tính sin(BDC):
- Tính được từ góc BDC, sau đó dùng để tính diện tích.

Cuối cùng, khi có được BD và DC, thay vào công thức trên để tính diện tích tam giác BDC.